\nopagenumbers 

\hoffset=-1.5truecm

\hsize=18.5truecm

\voffset=-1.9truecm

\vsize=26.7truecm

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\def\R{\Bbb R}

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Первый тур 27.11.2024. Высшая лига.}

\medskip

1. Для каких натуральных $n$ существует перестановка 
$(b_1, b_2, \dots, b_n)$ чисел 1, 2, \dots, $n$ такая, 
что при любом $i\in\{1, 2, \ldots, n\}$ число $ib_i$ даёт 
при делении на $n$ остаток 0 или 1?
(MathOverFlow) 
% ТЧ 8

2. Даны натуральные числа $m$ и $t$. Рассмотрим граф, в котором 
разрешены кратные ребра, а максимальная степень вершины не превосходит~$2m$. 
Между его вершинами $x$ и $y$ кратчайший путь имеет длину $t$. 
Какое наибольшее количество путей длины $t$ может быть 
между вершинами $x$ и $y$?
(I. Benjamini, E. Tzalik) 

3. Пусть $p=2n+1$ -- нечётное простое число. Пусть $\sigma_1$, 
$\sigma_2$, \dots, $\sigma_n$ -- перестановки конечного множества $X$ 
такие, что при любых $1\leq i, j, k\leq n$ таких, что $ij=k$ или $ij=p-k$, 
выполнено равенство $\sigma_i\mathbin{\circ} \sigma_j=\sigma_k$. Докажите, 
что все эти перестановки являются степенями одной из них.
(Nieuw Archief voor Wiskunde, 2023, \No 3)

4. В пространстве дано выпуклое множество $K$; оно ограничено, 
содержит свою границу, и в нём есть хотя бы одна внутренняя точка. 
Известно, что для любых двух точек $A$, $B$ его границы существует 
сечение множества $K$ плоскостью, являющееся кругом с хордой $AB$. 
Верно ли, что $K$ -- шар?
(Н. Николов, И. Богданов) 

5. Существуют ли тысяча попарно непересекающихся конечных подмножеств 
натурального ряда с равными суммами и равными суммами обратных? 
(Mathoverflow, Ф. Петров) 

6. Пусть $z_1$, $z_2$, \dots, $z_k$, $w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$ -- 
комплексные числа, модуль каждого из которых равен $1$. Докажите неравенство
$$\sqrt{k^2-\Bigl|\smash{\sum_j}z_jw_j\Bigr|^2}\leq
\sqrt{k^2-\Bigl|\smash{\sum_j}z_j\Bigr|^2}+
\sqrt{k^2-\Bigl|\smash{\sum_j}w_j\Bigr|^2}.$$
(MathOverflow, И. Богданов)

7. Дан вписанный пятиугольник $P_1P_2P_3P_4P_5$; положим $P_6=P_1$ 
и $P_0=P_5$. При $k=1,2,3,4,5$ обозначим через $I_k$ центр вписанной 
окружности треугольника $P_{k-1}P_kP_{k+1}$. Оказалось, что 
пятиугольник $I_1I_2I_3I_4I_5$ также является вписанным. Докажите, 
что прямые $P_1I_1$, $P_2I_2$, $P_3I_3$, $P_4I_4$ и $P_5I_5$ пересекаются 
в одной точке.
(Норвегия, олимпиада им.Абеля, финал, 2024)

8. Дано натуральное $N>1000$. Рассматриваются последовательности длины $N$, 
состоящие из чисел~$1$ и~$-1$. Назовём последовательность {\it растущей}, 
если никакая сумма нескольких её членов, стоящих подряд, не равна~$-100$. 
Назовём последовательность {\it маленькой}, если никакая сумма 
нескольких первых её членов не равна~$-100$ или~$101$. Докажите, 
что количества растущих и маленьких последовательностей равны.
(И. Богданов по мотивам J.L, Palacios) 

9. Внутри остроугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle A=60^\circ$, 
выбирается переменная точка~$P$ так, что ${\angle BPC=120^\circ}$. 
Точки $P_B$, $P_C$ симметричны точке $P$ относительно сторон $AC$, $AB$ 
соответственно.  Прямые $BP_B,CP_C$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, 
что описанная окружность треугольника $APQ$ проходит через точку, отличную 
от $A$ и не зависящую от выбора $P$.
(К. Бельский) 

10. На клетчатой доске $2025\times 2025$ расставлено несколько слонов. 
Каждая клетка на границе квадрата свободна, но находится под боем хотя бы 
одного слона. Какое наибольшее количество клеток, не находящихся под боем, 
может быть на доске? Клетка, на которой стоит слон, также считается 
находящейся под боем этого слона.
(М. Дидин) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Первый тур 27.11.2024. Первая лига.}

\medskip

1. Для каких натуральных $n$ существует перестановка 
$(b_1, b_2, \dots, b_n)$ чисел 1, 2, \dots, $n$ такая, 
что при любом $i\in\{1, 2, \ldots, n\}$ число $ib_i$ даёт 
при делении на $n$ остаток 0 или 1?
(MathOverFlow) 
% ТЧ 8

2. Дано натуральное число $n>1$. В стране $n$ баронов, некоторые из которых 
дружат, дружба всегда взаимна. Король хочет провести на плоскости 
$k$ параллельных прямых и выделить каждому барону по отрезку на каждой 
из этих прямых. При каком наименьшем $k$ он гарантированно может это сделать 
так, чтобы два барона дружили тогда и только тогда, когда на каждой 
из $k$ прямых их отрезки имеют хотя бы одну общую точку?
(Израиль, отбор на ММО, 2024) 

3. Пусть $p=2n+1$ -- нечётное простое число. Пусть $\sigma_1$, 
$\sigma_2$, \dots, $\sigma_n$ -- перестановки конечного множества $X$ 
такие, что при любых $1\leq i, j, k\leq n$ таких, что $ij=k$ или $ij=p-k$, 
выполнено равенство $\sigma_i\mathbin{\circ} \sigma_j=\sigma_k$. Докажите, 
что все эти перестановки являются степенями одной из них.
(Nieuw Archief voor Wiskunde, 2023, \No 3)

4. В пространстве дано выпуклое множество $K$; оно ограничено, 
содержит свою границу, и в нём есть хотя бы одна внутренняя точка. 
Известно, что для любых двух точек $A$, $B$ его границы существует 
сечение множества $K$ плоскостью, являющееся кругом с хордой $AB$. 
Верно ли, что $K$ -- шар?
(Н. Николов, И. Богданов) 

5. Существуют ли тысяча попарно непересекающихся конечных подмножеств 
натурального ряда с равными суммами и равными суммами обратных? 
(Mathoverflow, Ф. Петров) 

6. Докажите, что существует положительное число $C$ с таким свойством: 
если сумма положительных чисел $x$ и $y$ целая, то 
$$\{x^2\}+\{y^2\}+{C\over (x+y)^2}\leq 2.$$
(Польша, сборы на ММО, 2023) 

7. Дан вписанный пятиугольник $P_1P_2P_3P_4P_5$; положим $P_6=P_1$ 
и $P_0=P_5$. При $k=1,2,3,4,5$ обозначим через $I_k$ центр вписанной 
окружности треугольника $P_{k-1}P_kP_{k+1}$. Оказалось, что 
пятиугольник $I_1I_2I_3I_4I_5$ также является вписанным. Докажите, 
что прямые $P_1I_1$, $P_2I_2$, $P_3I_3$, $P_4I_4$ и $P_5I_5$ пересекаются 
в одной точке.
(Норвегия, олимпиада им.Абеля, финал, 2024)

8. Дано натуральное $N>1000$. Рассматриваются последовательности длины $N$, 
состоящие из чисел~$1$ и~$-1$. Назовём последовательность {\it растущей}, 
если никакая сумма нескольких её членов, стоящих подряд, не равна~$-100$. 
Назовём последовательность {\it маленькой}, если никакая сумма 
нескольких первых её членов не равна~$-100$ или~$101$. Докажите, 
что количества растущих и маленьких последовательностей равны.
(И. Богданов по мотивам J.L, Palacios) 

9. Внутри остроугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle A=60^\circ$, 
выбирается переменная точка~$P$ так, что $\angle BPC=120^\circ$. 
Точки $P_B$, $P_C$ симметричны точке $P$ относительно сторон $AC$, $AB$ 
соответственно.  Прямые $BP_B$, $CP_C$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, 
что описанная окружность треугольника $APQ$ проходит через точку, отличную 
от $A$ и не зависящую от выбора $P$.
(К. Бельский) 

10. На клетчатой доске $2025\times 2025$ расставлено несколько слонов. 
Каждая клетка на границе квадрата свободна, но находится под боем хотя бы 
одного слона. Какое наибольшее количество клеток, не находящихся под боем, 
может быть на доске? Клетка, на которой стоит слон, также считается 
находящейся под боем этого слона.
(М. Дидин) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Первый тур 27.11.2024. Вторая лига.}

\medskip

1. В клетках квадрата $2024\times 2024$ были расставлены числа 1, 2, 3, 
\dots, $2024^2$. Эти числа переставили так, что в каждой клетке число 
изменилось. Назовем клетчатый квадрат с {\bf четной} стороной {\it стабильным}, 
если он целиком содержится внутри исходного квадрата, а набор чисел 
в его клетках при перестановке не изменился. Какое наибольшее количество 
стабильных квадратов могло быть?
(И. Ефремов)
%комби 3-4

2. Докажите, что не существует натуральных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ и $n$ 
таких, что
$$a^2+b^2+c^2+d^2-4\sqrt{abcd}=7\cdot 2^{2n-1}.$$
(Япония, финал, 2024) 
%атч 2-3

3. Дан вписанный пятиугольник $P_1P_2P_3P_4P_5$; положим $P_6=P_1$ 
и $P_0=P_5$. При $k=1,2,3,4,5$ обозначим через $I_k$ центр вписанной 
окружности треугольника $P_{k-1}P_kP_{k+1}$. Оказалось, 
что пятиугольник $I_1I_2I_3I_4I_5$ также является вписанным. Докажите, 
что прямые $P_1I_1$, $P_2I_2$, $P_3I_3$, $P_4I_4$ и $P_5I_5$ пересекаются 
в одной точке. 
(Норвегия, олимпиада им.Абеля, финал, 2024)
%гео 4

4. Дано натуральное число $n>1$. В стране $n$ баронов, некоторые 
из которых дружат, дружба всегда взаимна. Король хочет провести 
на плоскости $k$ параллельных прямых, а затем для каждого барона 
отметить на каждой из $k$ прямых отрезок так, чтобы два барона дружили 
тогда и только тогда, когда на каждой из этих $k$ прямых их отрезки 
имели общую точку. Для какого наименьшего натурального $k$ король 
всегда сможет достичь желаемого?
(Израиль, отбор на ММО, 2024) 
%кг 5

5. Найдите все непрерывные функции $f\colon (1, +\infty) \to (1, +\infty)$ 
такие, что 
$$f(xy)={f(x)f(y)\over f(x)+f(y)-1}$$ 
для любых $x, y \in (1, +\infty)$.
(И. Ефремов)
%ржаво 2-3? 

6. Существуют ли тысяча конечных подмножеств натурального ряда 
с равными суммами и равными суммами обратных? 
(Упрощение задачи высшей лиги) 
%конструктив 6

7. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ остроугольного 
треугольника $ABC$ и пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$. 
Отрезки $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. На описанной окружности 
треугольника $ABF$ выбрана такая точка $G$, что $GB$ касается $\omega$. 
На описанной окружности треугольника $ACF$ выбрана такая точка $H$, 
что $HC$ касается $\omega$. Докажите, что описанная окружность 
треугольника $AGH$ проходит через фиксированную точку $T\neq A$, 
не зависящую от выбора~$\omega$.
(Центральноевропейская математическая олимпиада, 2024)
%геометрия 5

8. Пусть $z_1$, $z_2$, \dots, $z_k$, $w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$ -- 
комплексные числа, у каждого из которых модуль равен $1$. Докажите неравенство
$$\sqrt{k^2-\Bigl|\sum_jz_jw_j\Bigr|^2}\leq
\sqrt{k^2-\Bigl|\sum_jz_j\Bigr|^2}+\sqrt{k^2-\Bigl|\sum_jw_j\Bigr|^2}.$$
(MathOverflow, И. Богданов)
% А нерво 1-2

9. Дано натуральное число $n$. В корзине лежат $5n$ шаров, 
на каждом из которых написано одно из чисел 1, 2, 3, \dots, $n$. 
Оказалось, что каждое из этих чисел написано ровно на 5 шарах. 
Шары разложили в $n$ коробок, в каждой из которых по 5 шаров. 
Докажите, что в каждой коробке можно выбрать 3 шара и покрасить 
один из них в красный цвет, а другие два -- в синий так, чтобы 
сумма чисел на красных шарах была в два раза меньше суммы чисел 
на синих шарах.
(Корея, Winter Program Practice Test, 2024)
%комби 4-5

10. Перед Игорем и Сашей лежат две кучи, в которых $a$ и $b$ камней. 
Они по очереди берут камни из куч. Начинает Игорь. За один ход можно 
взять из любой кучи хотя бы 1, но не более половины камней. Проигрывает 
тот, кто не может сделать ход. При каких натуральных $a$ и $b$ Саша 
сможет выиграть независимо от действий Игоря?
(Олимпиада Северных стран, 2023)
%комби 4-5

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Первый тур 27.11.2024. Третья лига.}

\medskip

1. В клетках квадрата $2025\times 2025$ были расставлены числа 1, 2, 3, 
\dots, $2025^2$. Эти числа переставили так, что в каждой клетке число 
изменилось. Назовем клетчатый квадрат $2\times 2$ {\it стабильным}, 
если набор чисел в его клетках при перестановке не изменился. 
Какое наибольшее количество стабильных квадратов могло быть?
(И. Ефремов)
%комби 4

2. Докажите, что существует лишь конечное количество четверок натуральных 
чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ таких, что
$$a^2+b^2+c^2+d^2-4\sqrt{abcd}=2024.$$
(Япония, финал, 2024, упрощение) 
%атч 1-2

3. В окружность $\omega$ вписан пятиугольник $ABCDE$, в котором $BC=CD$. 
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$, биссектрисы 
треугольника $CDE$ -- в точке $J$. Докажите, что если четырехугольник 
$AIJE$ -- трапеция, то эта трапеция равнобедренная.
(А. Кузнецов) 
%гео 4-5

4. Можно ли в пространстве расположить 8 кубов со сторонами, параллельными 
осям координат, так, что для каждого куба $A$ среди оставшихся кубов 
нашелся бы ровно один куб $B$, не имеющий с $A$ общих точек?
(частный случай задачи из второй лиги) 
% кг 0-1

5. Найдите все функции $f\colon \R \to \R$ такие, что 
$$f(f(x)+xy)=f(x)f(x+y)$$ 
для любых $x, y \in \R$.
(И. Ефремов)
% а 3-4

6. Существуют ли два подмножества натурального ряда с равными суммами 
и равными суммами обратных? 
(Упрощение задачи высшей лиги) 

7. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ остроугольного 
треугольника $ABC$ и пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$. 
Отрезки $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. На описанной окружности 
треугольника $ABF$ выбрана такая точка $G$, что $GB$ касается $\omega$. 
На описанной окружности треугольника $ACF$ выбрана такая точка $H$, 
что $HC$ касается $\omega$. Докажите, что описанная окружность 
треугольника $AGH$ проходит через фиксированную точку $T\neq A$, 
не зависящую от выбора~$\omega$.
(Центральноевропейская математическая олимпиада, 2024)
%геометрия 5

8. Для положительных чисел $a$, $b$ и $c$, произведение которых равно 
единице, докажите неравенство
$$(a+b+c)(ab+bc+ac) +3 \geq 4(a+b+c).$$
(Индонезия, отбор на ММО, 2022) 

9. Сколькими способами можно расставить числа 1, 2, 3, \dots, 20 
в ряд так, чтобы для некоторого натурального $k$ числа с первого 
до $k$-ого шли в порядке возрастания, а числа с $k$-ого до двадцатого 
шли в порядке убывания?
(Фольклор) 

10. Перед Игорем и Сашей лежат две кучи, в которых $a$ и $b$ камней. 
Они по очереди берут камни из куч. Начинает Игорь. За один ход можно 
взять из любой кучи хотя бы 1, но не более половины камней. Проигрывает 
тот, кто не может сделать ход. При каких натуральных $a$ и $b$ Саша 
сможет выиграть независимо от действий Игоря?
(Олимпиада Северных стран, 2023)
  
\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников} 

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Первый тур 27.11.2024. Высшая юниорская лига.}

\medskip

1. Точки $N$ и $M$ -- середины диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого
четырехугольника $ABCD$ соответственно, которые пересекаются в точке $E$. 
Луч $AM$ пересекает сторону $BC$ в точке $X$. Луч $DN$ пересекает 
отрезок $BX$ в точке $Y$ и отрезок $MX$ в точке $Z$. Оказалось,
что окружность $(XYZ)$ касается прямых $MY$ и $NX$. 
На этой окружности отмечена точка $T$ так, что $EZ=ET$. 
Окружность $(EZT)$ повторно пересекает отрезки $EM$ и $EN$ 
в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $MN \parallel PQ$.
(А. Кузнецов)
%геометрия 3

2. Во вписанном пятиугольнике $P_1P_2P_3P_4P_5$ обозначим через $I_k$ 
центр вписанной окружности треугольника $P_{k-1}P_kP_{k+1}$ ($P_0=P_5$ 
и $P_6=P_1$) для $k=1, 2, 3, 4, 5$. Оказалось, что пятиугольник 
$I_1I_2I_3I_4I_5$ также является вписанным. Докажите, что 
прямые $P_1I_1$, $P_2I_2$, $P_3I_3$, $P_4I_4$ и $P_5I_5$ 
пересекаются в одной точке.
(Норвегия, олимпиада им.Абеля, финал, 2024)

3. На плоскости отмечено 2024 красных, 2024 зеленых и 2024 желтых точки 
и точка $O$. Никакие три из 6073 отмеченных точек не лежат на одной прямой. 
Оказалось, что какие бы два цвета не выбрать, точка $O$ лежит внутри 
выпуклой оболочки точек этих двух цветов. Какое наименьшее число 
треугольников с вершинами трех разных цветов может содержать точку $O$?
(Ибероамериканская олимпиада, 2024) 

4. В клетках квадрата $101\times 101$ расставлены числа 1, 2, 3, \dots, 
$101^2$. Затем эти числа переставили так, что в каждой клетке число 
изменилось. Назовем клетчатый квадрат $2\times 2$ {\it стабильным}, 
если набор чисел в его клетках при перестановке не изменился. Какое 
наибольшее количество стабильных квадратов могло быть?
(И. Ефремов) 

5. На столе лежат $100$ карт с номерами 1, 2, \dots, 100. Петя и Вася 
играют с ними в игру: на каждом ходу Петя выбирает одну карту из оставшихся, 
а Вася решает -- забрать её себе или отдать Пете, причём по правилам Васе 
запрещается забирать карту себе два хода подряд. Игра продолжается, 
пока на столе не закончатся карты. Цель Васи -- набрать себе карты 
так, чтобы сумма их номеров была как можно больше, а цель Пети -- 
ему помешать. Найдите наибольшее такое $k$, что Вася сможет собрать 
карты с суммой номеров не меньшей, чем $k$, независимо от действий Пети.
(Иран, 2022) 
%комби 5

6. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых $a!+b$ и $b!+a$ 
являются степенями пятерки.
(Шортлист юниорской Балканиады, 2023) 

7. Даны вещественные числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, $b_1$, $b_2$, 
\dots, $b_n$. Докажите, что для некоторого натурального $k\leq n$ 
$$\sum_{i=1}^n |a_i-a_k|\leq \sum_{i=1}^n |b_i-a_k|.$$
(Польша, сборы на ММО, 2024)

8. Для каких натуральных $n$ существует перестановка $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 
чисел 1, 2, \dots, $n$ такая, что при любом $i=1, \dots, n$ число $ib_i$ 
даёт при делении на $n$ остаток 0 или 1?
(MathOverFlow)

9. Существуют ли 1000 различных множеств натуральных чисел по 1000 чисел 
в каждом с равными суммами и равными суммами обратных? (Множества могут 
пересекаться.) 
(модификация задачи высшей лиги сеньоров)
%конструктив 1-2

10. Докажите, что существует положительное число $C$ с таким свойством: 
если сумма положительных чисел $x$ и $y$ целая, то 
$$\{x^2\}+\{y^2\}+{C\over (x+y)^2}\leq 2.$$
(Польша, сборы на ММО, 2023) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Первый тур 27.11.2024. Первая юниорская лига.}

\medskip

1. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $BD$ и $CE$ пересекаются 
в точке $H$. На отрезке $AH$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что 
$DX \parallel BC \parallel EY$. Окружность $(ABY)$ повторно пересекает 
отрезок $BH$ в точке $Z$. Окружность $(ACX)$ повторно пересекает 
отрезок $CH$ в точке $T$. Докажите, что прямые $DE$, $YZ$ и $XT$ 
пересекаются в одной точке.
(А. Кузнецов) 

2. Во вписанном пятиугольнике $P_1P_2P_3P_4P_5$ обозначим через $I_k$ 
центр вписанной окружности треугольника $P_{k-1}P_kP_{k+1}$ ($P_0=P_5$ 
и $P_6=P_1$) для $k=1, 2, 3, 4, 5$. Оказалось, что пятиугольник 
$I_1I_2I_3I_4I_5$ также является вписанным. Докажите, что 
прямые $P_1I_1$, $P_2I_2$, $P_3I_3$, $P_4I_4$ и $P_5I_5$ 
пересекаются в одной точке.
(Норвегия, олимпиада им.Абеля, финал, 2024)

3. На плоскости отмечено 2024 красных, 2024 зеленых и 2024 желтых точки 
и точка $O$. Никакие три из 6073 отмеченных точек не лежат на одной прямой. 
Оказалось, что какие бы два цвета не выбрать, точка $O$ лежит внутри 
выпуклой оболочки точек этих двух цветов. Какое наименьшее число 
треугольников с вершинами трех разных цветов может содержать точку $O$?
(Ибероамериканская олимпиада, 2024) 

4. В клетках квадрата $101\times 101$ расставлены числа 1, 2, 3, \dots, 
$101^2$. Затем эти числа переставили так, что в каждой клетке число 
изменилось. Назовем клетчатый квадрат $2\times 2$ {\it стабильным}, 
если набор чисел в его клетках при перестановке не изменился. Какое 
наибольшее количество стабильных квадратов могло быть?
(И. Ефремов) 

5. На столе лежат $100$ карт с номерами 1, 2, \dots, 100. Петя и Вася 
играют с ними в игру: на каждом ходу Петя выбирает одну карту из оставшихся, 
а Вася решает -- забрать её себе или отдать Пете, причём по правилам Васе 
запрещается забирать карту себе два хода подряд. Игра продолжается, 
пока на столе не закончатся карты. Цель Васи -- набрать себе карты 
так, чтобы сумма их номеров была как можно больше, а цель Пети -- 
ему помешать. Найдите наибольшее такое $k$, что Вася сможет собрать 
карты с суммой номеров не меньшей, чем $k$, независимо от действий Пети.
(Иран, 2022) 

6. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых $a!+b$ и $b!+a$ 
являются степенями пятерки.
(Шортлист юниорской Балканиады, 2023) 

7. Даны вещественные числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, $b_1$, $b_2$, 
\dots, $b_n$. Докажите, что для некоторого натурального $k\leq n$ 
$$\sum_{i=1}^n |a_i-a_k|\leq \sum_{i=1}^n |b_i-a_k|.$$
(Польша, сборы на ММО, 2024)

8. Натуральное число называется свободным от квадратов, если оно не делится 
на квадрат ни одного простого числа. Для каких натуральных $n$, свободных 
от квадратов, существует перестановка $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ чисел 1, 2, 
\dots, $n$ такая, что при любом $i=1, \dots, n$ число $ib_i$ даёт 
при делении на $n$ остаток 0 или 1?
(Упрощение задачи высшей юниорской лиги) 

9. Существуют ли два различных непересекающихся множества натуральных чисел 
по 1000 чисел в каждом с равными суммами и равными суммами обратных?
(упрощение задачи высшей лиги сеньоров)
%конструктив 2-4

10. Для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$ докажите неравенство 
$$\sqrt{ab^2(b+c)}+\sqrt{bc^2(c+a)}+\sqrt{ca^2(a+b)}
\leq {1\over 2}\sqrt{(a+b+c)^4-(a^2+b^2+c^2)^2}$$.
(Польша, 1 тур, 2022/23)

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Первый тур 27.11.2024. Вторая юниорская лига.}

\medskip

1. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $BD$ и $CE$ пересекаются 
в точке $H$. На отрезке $AH$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что 
$DX \parallel BC \parallel EY$. Окружность $(ABY)$ повторно пересекает 
отрезок $BH$ в точке $Z$. Окружность $(ACX)$ повторно пересекает 
отрезок $CH$ в точке $T$. Докажите, что прямые $DE$, $YZ$ и $XT$ 
пересекаются в одной точке.
(А. Кузнецов) 

2. В окружность $\omega$ вписан пятиугольник $ABCDE$, в котором $BC=CD$. 
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$, биссектрисы 
треугольника $CDE$ -- в точке $J$. Докажите, что если четырехугольник 
$AIJE$ -- трапеция, то эта трапеция равнобедренная.
(А. Кузнецов) 

3. В стране $100$ баронов, некоторые из которых дружат, дружба всегда 
взаимна. Король хочет провести на плоскости 50 прямых и каждому барону 
присвоить некоторый отрезок на каждой из этих прямых так, чтобы два барона 
дружили тогда и только тогда, когда их отрезки на каждой из 50 прямых имели 
общую точку. Обязательно ли у короля получится осуществить задуманное?
(Израиль, отбор на ММО, 2024) 
 
4. В клетках квадрата $101\times 101$ расставлены числа 1, 2, 3, \dots, 
$101^2$. Затем эти числа переставили так, что в каждой клетке число 
изменилось. Назовем клетчатый квадрат $2\times 2$ {\it стабильным}, 
если набор чисел в его клетках при перестановке не изменился. Какое 
наибольшее количество стабильных квадратов могло быть?
(И. Ефремов) 

5. В стране некоторые пары городов соединены двусторонним авиасообщением 
одной из $n>1$ авиакомпаний. Из каждого города вылетает по 1 рейсу 
каждой авиакомпании в $n$ других городов так, чтобы из любого города 
можно было добраться до любого другого. Между тремя городами были 
перекрыты все авиарейсы. При каких значениях $n$ гарантированно 
все еще от любого города можно добраться до любого другого?
%q206.

6. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых $a!+b$ и $b!+a$ 
являются степенями пятерки.
(Шортлист юниорской Балканиады, 2023) 

7. Даны вещественные числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, $b_1$, $b_2$, 
\dots, $b_n$. Докажите, что для некоторого натурального $k\leq n$ 
$$\sum_{i=1}^n |a_i-a_k|\leq \sum_{i=1}^n |b_i-a_k|.$$
(Польша, сборы на ММО, 2024)

8. Найдите все пары различных простых $(p, q)$, для которых существует 
перестановка $(b_1, b_2, \dots, b_{pq})$ чисел 1, 2, \dots, $pq$ такая, 
что при любом $i=1, \dots, pq$ число $ib_i$ даёт при делении на $pq$ 
остаток 0 или 1.
(Упрощение задачи высшей юниорской лиги) 

9. Существуют ли два различных непересекающихся множества натуральных чисел 
по 1000 чисел в каждом с равными суммами и равными суммами обратных?
(упрощение задачи высшей лиги сеньоров)

10. Для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$ докажите неравенство 
$$\sqrt{ab^2(b+c)}+\sqrt{bc^2(c+a)}+\sqrt{ca^2(a+b)}
\leq {1\over 2}\sqrt{(a+b+c)^4-(a^2+b^2+c^2)^2}$$.
(Польша, 1 тур, 2022/23)

\end 
