\nopagenumbers 

\hoffset=-1.5truecm

\hsize=18.5truecm

\voffset=-1.9truecm

\vsize=27.2truecm

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\def\R{\Bbb R}

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА 26.11.2024. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЮНИОРОВ}

\medskip

1. Простое число $p>3$ не содержит цифр  1, 4, 7. Докажите, что можно 
выбрать одну из его ненулевых цифр и вписать в число перед ней цифру 
на один меньше так, чтобы полученное число оказалось составным.
(А. Кузнецов, Д. Ширяев) 

2. Вещественные числа $a,b,c,d$ таковы, что 
$$a^3+ab+b^3=a^2+b^2; \quad b^3+bc+c^3=b^2+c^2; \quad c^3+cd+d^3=c^2+d^2.$$ 
На сколько могут отличаться числа $a^3+ad+d^3$ и $a^2+d^2$?
(А. Кузнецов) 

3. Параллелограммы $ABCD$ и $AEFG$ расположены на плоскости так, что
$DE=CF$. Прямые $BG$, $DE$ и $CF$, пересекаясь, ограничивают 
треугольник $\Delta$. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
(А. Кузнецов)

4. На клетчатой доске $a\times b$ закрасили несколько непересекающихся 
(в том числе по углу!) доминошек. Найдите все пары $(a,b)$, для которых 
оставшуюся часть доски всегда можно разбить на доминошки (независимо 
от того, какие именно доминошки закрашены). 
(Летняя школа Пекинского университета, 2023, по мотивам)

5. Положительные рациональные числа $a$, $b$, $c$ и натуральные 
числа $k$, $m$, $n$ таковы, что $abc=1$ и число $a^k+b^m+c^n$ -- целое. 
Докажите, что если число $a$ записать в виде несократимой дроби, то 
ее числитель будет точной степенью натурального числа (выше первой). 
(Азиатско-Тихоокеанская олимпиада, 2017) 

6. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O$. 
Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Лучи $CB$ и $DA$ пересекаются 
в точке $Q$. Окружность, описанная около треугольника $APB$, 
вторично пересекает отрезки $AD$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. 
Окружность, описанная около треугольника $CPD$, вторично пересекает отрезки 
$B_1C$ и $A_1D$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что 
прямые $A_1C_1$, $B_1D_1$ и $QO$ пересекаются в одной точке.
(А. Кузнецов) 

7. Сумма положительных чисел $x_1$, $x_2$, \dots, $x_{100}$ равна 100. 
Докажите, что 
$${x_1^6\over x_1^4+x_2x_3}+{x_2^6\over x_2^4+x_3x_4}+\ldots+
{x_{99}^6\over x_{99}^4+x_{100}x_{1}}+{x_{100}^6\over x_{100}^4+x_{1}x_{2}} 
\geq 50.$$
(А. Кузнецов) 

8. Дано натуральное число $k$. В начале игры в ряд случайным образом 
выкладывают $2k+1$ монет. Каждая монета с вероятностью $1/2$ лежит 
орлом вверх, с вероятностью $1/2$~-- решкой. Двое игроков делают ходы 
по очереди. За ход игрок может забрать несколько подряд лежащих монет, 
начиная с самой левой.  При этом, если самая левая монета лежит решкой 
вверх, то среди выбранных обязательно должно оказаться нечетное число монет, 
лежащих решкой вверх. Если же самая левая монета лежит орлом вверх, 
то среди выбранных обязательно должно оказаться нечетное число монет, 
лежащих орлом вверх. Побеждает тот, кому достается последняя монета. 
Какова вероятность того, что у первого игрока есть выигрышная стратегия?
(Италия, 2019)

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА 26.11.2024. ЗАДАНИЯ ДЛЯ СЕНЬОРОВ}

\medskip

1. Существуют ли приведённые квадратные трёхчлены $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ такие, что
$$
  P(Q(x))=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) \qquad\hbox{и} \qquad
  Q(R(x))=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)?
$$
(Конкурс университета Карнеги-Меллона, 2021, модификация) 

2. Назовем {\it представлением} натурального числа $n$ разложение 
вида $n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ с целыми числами 
$a_1\geq a_2\geq\ldots\geq a_n\geq 0$. Докажите, что при $n\geq 3$ 
количество представлений, в которых не менее половины {\it ненулевых} 
чисел -- единицы, равно количеству представлений, в которых $a_2=a_3$. 
(И. Богданов) 

3. Найдите все нечётные натуральные числа $n$, при которых число 
$(2^n-1)(5^n-1)$ является полным квадратом.
(J. Cohn, частный случай)

4. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O$. 
Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Лучи $CB$ и $DA$ пересекаются 
в точке $Q$. Окружность, описанная около треугольника $APB$, вторично 
пересекает отрезки $AD$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. 
Окружность, описанная около треугольника $CPD$, вторично пересекает 
отрезки $B_1C$ и $A_1D$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, 
что прямые $A_1C_1$, $B_1D_1$ и $QO$ пересекаются в одной точке.
(А. Кузнецов)

5. Найдите наименьшее число $C$, для которого верно следующее утверждение. 

Пусть $n>2$ -- натуральное число, а $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$ -- положительные числа; положим $a_{n+k}=a_k$ при всех натуральных~$k$. Определим $b_i=a_i+\max(a_{i+1},a_{i+2})$. Тогда
$$C\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i+1})^{1000}\geq \sum_{i=1}^n(b_i-b_{i+1})^{1000}.$$
(Турецкий отбор на IMO 2024) 

6. Дано простое число $p$, пусть $n=p^2+p+1$. Рассмотрим семейство 
$\cal F$ из $(p+1)$-элементных подмножеств в $n$-элементом множестве $X$ 
такое, что никакая пара подмножеств в $\cal F$ не пересекается ровно 
по одному элементу. Найдите максимальный размер такого семейства~$\cal F$.
(Д. Черкашин)

7. Биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ неравнобедренного треугольника $ABC$ 
пересекаются в точке $I$. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается 
стороны $BC$ в точке $A_2$. Окружность $\omega_a$ проходит через точки 
$A_1$, $A_2$ и середину отрезка $AI$. Окружности $\omega_b$ и $\omega_c$ 
определяются аналогично. Докажите, что центры окружностей $\omega_a$, 
$\omega_b$, $\omega_c$ лежат на одной прямой.
(И. Фролов)

8. Натуральное число $k$ таково, что число $p=8k+5$ простое. Целые числа 
$a_1$, $a_2$, \dots, $a_{4k+2}$ таковы, что $|a_i|=i$ при всех 
$i=1, 2, \dots, 4k+2$. Рассмотрим при всех $j=1, 2, \dots, 4k+2$ суммы 
$$S_j=a_1^{2j-1}+a_2^{2j-1}+\ldots+a_{4k+2}^{2j-1}.$$ 
Какое наименьшее количество чисел, не кратных $p$, может оказаться 
среди этих сумм?
(Е. Холмогоров) 

\end 
