\nopagenumbers 

\hoffset=-1.5truecm

\hsize=18.5truecm

\voffset=-1.9truecm

\vsize=26.7truecm

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\def\Q{\Bbb Q}
\def\Z{\Bbb Z}

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников} 

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Второй тур 28.11.2024. Высшая лига.}

\medskip

1. Дана последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, \dots. 
Известно, что для любых различных натуральных $m$ и $n$ число 
${a_m+a_n\over m+n}$ представляется в виде отношения двух нечётных чисел; 
также $a_n\leq 3n$ при всех $n$. Докажите, что каждое делящееся на 3 
натуральное число встречается в этой последовательности ровно один раз. 
(Польша, сборы на ММО, 2023) 

2. Даны два тетраэдра $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$; каждое ребро 
второго тетраэдра длиннее соответствующего ребра первого ровно на метр. 
Обязательно ли внутри второго тетраэдра можно разместить тетраэдр, 
равный первому? (Точкам нового тетраэдра разрешено попадать на границу второго.) 
(А. Акопян по мотивам Р. Шварца)

3. Найдите наименьшее $C$, для которого можно выбрать такое множество $T$, 
состоящее из 2024 неотрицательных целых чисел, не превосходящих 6000, 
что для любых неотрицательных чисел  $x_0$, $x_1$, \dots, $x_{2000}$ 
будет выполнено неравенство
$$\sum_{p+q+r\in T}x_px_qx_r\leq C\left(\sum_{j=0}^{2000}x_j\right)^3.$$
(N. Safaei)

4. Пусть $n$ -- натуральное число; обозначим $X_n=\{1, 2, \ldots, n\}$. 
Для каждого $i \in X_n$ выбраны попарно непересекающиеся множества 
$A_i$, $B_i$ и $C_i$ такие, что $A_i \cup B_i \cup C_i=X_n \setminus \{i\}$ 
и $|A_i|=|B_i|$. Предположим, что  
$$|A_i\cap B_j|+|B_i\cap C_j|+|C_i\cap A_j|=
|B_i\cap A_j|+|C_i\cap B_j|+|A_i\cap C_j|$$  
для всех $i, j \in X_n$.  
Докажите, что $i\in A_j$ тогда и только тогда, когда $j\in A_i$.  
(Y.Ionin)

5. {\it Геодезическим путём} в графе назовём путь между двумя 
различными вершинами $a$ и $b$ такой, что не существует пути 
из $a$ в $b$ меньшей длины, все вершины которого являются вершинами 
исходного пути. В связном графе (хотя бы с двумя вершинами) оказалось, 
что для любых двух различных вершин все геодезические пути между ними 
имеют равную длину. Докажите, что в графе найдётся либо вершина, удаление 
которой нарушает связность, либо две вершины-близнеца. ({\it Близнецами} 
называют две вершины такие, что каждая другая вершина либо смежна с обеими, 
либо не смежна с обеими).
(фольклор, предложил Ф. Петров)

6. Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ на плоскости таковы, 
что каждая из четвёрок $(A, B, C, D)$, $(C, D, E, F)$, $(E, F, A, B)$ 
лежит на одной окружности, и все эти окружности различны. Оказалось, 
что $AB\perp DE$, $BC\perp EF$, $CD\perp FA$. Прямые $BC$, $DE$, $FA$ 
образуют треугольник $T_1$, а прямые $AD$, $BE$, $CF$ -- треугольник~$T_2$.  
Докажите, что их описанные окружности касаются.
(И. Замоторин) 

7. Многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами и натуральное число $k$ 
таковы, что многочлен $x^kP(x+1)+(x-1)^kP(x-1)$ делится на $P(x)$. 
Докажите, что $\left(P(x+1)\right)^2=\left(P(-x)\right)^2$.
(H. Cohen, И. Богданов)

8. Пусть $q>p$ -- нечётные взаимно простые натуральные числа. Рассмотрим 
на координатной плоскости точки с целыми координатами $(a,b)$ такие, 
что $0\leq a,b\leq pq-1$, число $1+a+b$ делится на~$q$, а число $b-a$ 
делится на $p$. Раскрасим все точки плоскости с целыми координатами 
в шахматном порядке. Докажите, что среди рассматриваемых $pq$ точек 
количества чёрных и белых отличаются не более, чем на $q-p+1$.
(MathOverflow, Ф. Петров) 

9. В королевстве живут рыцари, сила каждого -- целое число от 1 до $10^6$. 
Если два рыцаря вступают в бой, то каждый рыцарь, который не сильнее 
соперника или для которого это третий бой, погибает. Если же рыцарь 
не удовлетворяет этим условиям, то он выживает.

Король выбирает последовательность сил $a_1\leq\dots\leq a_n$, 
берёт две группы рыцарей, у которых такие силы, и выстраивает 
каждую группу в шеренгу по неубыванию силы (слева направо), 
одна справа от другой. Затем два рыцаря из разных групп, оказавшиеся рядом, 
вступают в бой. После окончания боя снова два соседних рыцаря из разных групп 
вступают в бой, и т.д. Пусть $f(n)$ -- количество последовательностей 
$a_1\leq\dots\leq a_n$, для которых в результате этого процесса 
не останется живых рыцарей. Докажите, что $f(4k+1)=f(4k+2)=f(4k+3)$ 
для любого натурального $k$.
(Л. Шатунов) 

10. Точки $H$ и $O$~-- ортоцентр и центр описанной окружности 
остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ соответственно. 
Точки $P$ и $Q$ выбраны на описанной окружности $\omega$ так, 
что $\angle BPH=\angle CQH=90^\circ$. Пусть прямая $PQ$ пересекает 
касательную к $\omega$, проведенную в точке $A$, в точке $S$, 
а отрезки $OP$ и $OQ$ пересекают отрезки $BH$ и $CH$ в точках $X$ и $Y$ 
соответственно. Докажите, что $OS \parallel XY$.
(С. Кузнецов) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников} 

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Второй тур 28.11.2024. Первая лига.}

\medskip

1. Дана последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, \dots. 
Известно, что для любых различных натуральных $m$ и $n$ число 
${a_m+a_n\over m+n}$ представляется в виде отношения двух нечётных чисел; 
также $a_n\leq 3n$ при всех $n$. Докажите, что каждое делящееся на 3 
натуральное число встречается в этой последовательности ровно один раз. 
(Польша, сборы на ММО, 2023) 

2. Даны два тетраэдра $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$; каждое ребро 
второго тетраэдра длиннее соответствующего ребра первого ровно на метр. 
Обязательно ли внутри второго тетраэдра можно разместить тетраэдр, 
равный первому? (Точкам нового тетраэдра разрешено попадать на границу второго.) 
(А. Акопян по мотивам Р. Шварца)

3. Найдите наименьшее $C$, для которого можно выбрать такое множество $T$, 
состоящее из 2024 неотрицательных целых чисел, не превосходящих 6000, 
что для любых неотрицательных чисел  $x_0$, $x_1$, \dots, $x_{2000}$ 
будет выполнено неравенство
$$\sum_{p+q+r\in T}x_px_qx_r\leq C\left(\sum_{j=0}^{2000}x_j\right)^3.$$
(N. Safaei)

4. Пусть $n$ -- натуральное число; обозначим $X_n=\{1, 2, \ldots, n\}$. 
Для каждого $i \in X_n$ выбраны попарно непересекающиеся множества 
$A_i$, $B_i$ и $C_i$ такие, что $A_i \cup B_i \cup C_i=X_n \setminus \{i\}$ 
и $|A_i|=|B_i|$. Предположим, что  
$$|A_i\cap B_j|+|B_i\cap C_j|+|C_i\cap A_j|=
|B_i\cap A_j|+|C_i\cap B_j|+|A_i\cap C_j|$$  
для всех $i, j \in X_n$.  
Докажите, что $i\in A_j$ тогда и только тогда, когда $j\in A_i$.  
(Y.Ionin)

5. На вечеринке присутствуют $n$ человек. Среди них есть 
не более $n-1$ пары друзей (пары $(A,B)$ и $(B,A)$ считаются совпадающими). 
Два человека пожимают друг другу руки тогда и только тогда, 
когда у них есть хотя бы один общий друг. Дано целое число $m\geq 3$ 
такое, что $n\leq m^3$. Докажите, что существует человек $A$, 
который пожал руку не более чем $d\cdot (m-1)$ людям, 
где $d$ -- количество друзей $A$.
(Китай, отбор на ММО, 2023)
% К, граф, 5-6

6. Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ на плоскости таковы, 
что каждая из четвёрок $(A, B, C, D)$, $(C, D, E, F)$, $(E, F, A, B)$ 
лежит на одной окружности, и все эти окружности различны. Оказалось, 
что $AB\perp DE$, $BC\perp EF$, $CD\perp FA$. Прямые $BC$, $DE$, $FA$ 
образуют треугольник $T_1$, а прямые $AD$, $BE$, $CF$ -- треугольник~$T_2$.  
Докажите, что их описанные окружности касаются.
(И. Замоторин) 

7. Дано простое число $p$. Пусть $n$ -- наименьшее натуральное число, 
большее 1, такое, что $n^6-1$ делится на $p$. Докажите, что тогда одно 
из чисел $(n+1)^6-1$ или $(n+2)^6-1$ также делится на $p$.
(Великобритания, 2024/25, 1 тур) 

8. Пусть $q>p$ -- нечётные взаимно простые натуральные числа. Рассмотрим 
на координатной плоскости точки с целыми координатами $(a,b)$ такие, 
что $0\leq a,b\leq pq-1$, число $1+a+b$ делится на~$q$, а число $b-a$ 
делится на $p$. Раскрасим все точки плоскости с целыми координатами 
в шахматном порядке. Докажите, что среди рассматриваемых $pq$ точек 
количества чёрных и белых отличаются не более, чем на $q-p+1$.
(MathOverflow, Ф. Петров) 

9. В королевстве живут рыцари, сила каждого -- целое число от 1 до $10^6$. 
Если два рыцаря вступают в бой, то каждый рыцарь, который не сильнее 
соперника или для которого это третий бой, погибает. Если же рыцарь 
не удовлетворяет этим условиям, то он выживает.

Король выбирает последовательность сил $a_1\leq\dots\leq a_n$, 
берёт две группы рыцарей, у которых такие силы, и выстраивает 
каждую группу в шеренгу по неубыванию силы (слева направо), 
одна справа от другой. Затем два рыцаря из разных групп, оказавшиеся рядом, 
вступают в бой. После окончания боя снова два соседних рыцаря из разных групп 
вступают в бой, и т.д. Пусть $f(n)$ -- количество последовательностей 
$a_1\leq\dots\leq a_n$, для которых в результате этого процесса 
не останется живых рыцарей. Докажите, что $f(4k+1)=f(4k+2)=f(4k+3)$ 
для любого натурального $k$.
(Л. Шатунов) 

10. Точки $H$ и $O$~-- ортоцентр и центр описанной окружности 
остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ соответственно. 
Точки $P$ и $Q$ выбраны на описанной окружности $\omega$ так, 
что $\angle BPH=\angle CQH=90^\circ$. Пусть прямая $PQ$ пересекает 
касательную к $\omega$, проведенную в точке $A$, в точке $S$, 
а отрезки $OP$ и $OQ$ пересекают отрезки $BH$ и $CH$ в точках $X$ и $Y$ 
соответственно. Докажите, что $OS \parallel XY$.
(С. Кузнецов) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Второй тур 28.11.2024. Вторая лига.}

\medskip

1. Все рёбра тетраэдра $T_1$ увеличили на метр и получили тетраэдр $T_2$. 
Обязательно ли $T_1$ можно поместить внутрь $T_2$?
(А. Акопян по мотивам Р. Шварца)
% КГ констр 0-1

2. Дано простое число $p$. Пусть $n$~-- наименьшее натуральное число, 
большее 1, такое, что $n^6-1$ делится на $p$. Докажите, что тогда одно 
из чисел $(n+1)^6-1$ или $(n+2)^6-1$ также делится на $p$.
(Великобритания, 2024/25, 1 тур) 
%ТЧ 7-8

3. На вечеринке присутствуют $n$ человек. Среди них есть не более $n-1$ 
пары друзей. Два человека пожимают друг другу руки тогда и только тогда, 
когда у них есть хотя бы 1 общий друг. Дано целое число $m\geq 3$ такое, 
что $n\leq m^3$. Докажите, что существует человек $A$, который пожал руку 
не более чем $d\cdot (m-1)$ людям, где $d$ -- количество друзей $A$.
(Китай, отбор на ММО, 2023)
%4-5

4. Найдите наименьшее $C$, для которого можно выбрать такие различные 
неотрицательные целые числа $t_1$, $t_2$, \dots, $t_{2024}$, 
не превосходящие 6000, что для любых положительных $x_0$, $x_1$, 
\dots, $x_{2000}$ будет выполнено неравенство 
$$\sum_{i=1}^{2024}\sum_{p+q+r=t_i}x_px_qx_r\leq 
C\left(\sum_{j=0}^{2000}x_j\right)^3.$$
(N. Safaei)
% А нерво 5

5. Точка $H$~-- ортоцентр остроугольного неравнобедренного 
треугольника $ABC$ соответственно. Точки $P$ и $Q$ выбраны 
на описанной окружности $\omega$ так, что $\angle BPH=\angle CQH=90^\circ$. 
Пусть прямая $PQ$ пересекает касательную к $\omega$, проведенную в точке $A$, 
в точке $S$. Докажите, что точка $S$ лежит на средней линии 
треугольника $ABC$.
(С. Кузнецов)

6. Пусть $p>2$ -- простое число. Назовем перестановку $a_1$, $a_2$, 
\dots, $a_p$ чисел 1, 2, 3, \dots, $p$ {\it хорошей}, если 
для любого натурального $i \leq p$ существует натуральное $k$ такое, 
что $a_i\equiv i^k \pmod p$. Докажите, что количество хороших перестановок 
является натуральным делителем числа $(p-1)!$.
(И.Ефремов) 
%3-4

7. Докажите, что для любой функции $f\colon \Q\to\Z$ существуют 
такие $a, b, c \in \Q$, что $a<b<c$, $f(b)\geq f(a)$ и $f(b)\geq f(c)$.
(IMC, 2024)
% А 6-7

8. Некоторые клетки квадрата $2024\times 2024$ покрашены 
в один из трех цветов. При этом каждый цвет присутствует, 
и для каждой покрашенной клетки есть ровно 3 клетки в ее столбце 
и строке, покрашенные в другие цвета. Какое наибольшее количество клеток 
могли быть покрашены?
(Вьетнам, отбор на ММО, 2024) 
% К 3-4

9. Маша и Надя играют в следующую игру. У Маши есть 2024 монеты, 
а у Нади -- 2023 монеты. Они одновременно бросают все имеющиеся у них монеты. 
Маша выигрывает, если у нее строго больше орлов, чем у Нади, в противном 
случае выигрывает Надя. Какова вероятность того, что Маша выиграет в этой игре? 
Каждая монета равновероятно выпадает либо орлом, либо решкой. 
(фольклор) 

10. Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ таковы, что каждая из четвёрок 
$(A, B, C, D)$, $(C, D, E, F)$, $(E, F, A, B)$ лежит на одной окружности, 
и все эти окружности различны. Оказалось, что $AB\perp DE$, $BC\perp EF$, 
$CD\perp FA$. Прямые $BC$, $DE$, $FA$ образуют треугольник $T_1$, 
а прямые $AD$, $BE$, $CF$~-- треугольник $T_2$.  Докажите, что 
их описанные окружности касаются.
(И. Замоторин) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Второй тур 28.11.2024. Третья лига.}

\medskip

1. Стороны треугольника $T_2$ на 1 больше соответствующих сторон 
треугольника $T_1$. Верно ли, что треугольник $T_1$ всегда можно накрыть 
треугольником $T_2$?
(уплощение задачи второй лиги) 
%комбигео, 0

2. Дано простое число $p$. Пусть $n$~-- наименьшее натуральное число, 
большее 1, такое, что $n^6-1$ делится на $p$. Докажите, что тогда одно 
из чисел $(n+1)^6-1$ или $(n+2)^6-1$ также делится на $p$.
(Великобритания, 2024/25, 1 тур) 

3. На вечеринке присутствуют $n$ человек. Среди них есть не более $n-1$ пары 
друзей. Два человека пожимают друг другу руки тогда и только тогда, 
когда у них есть хотя бы $1$ общий друг. Дано целое число $m\geq 3$ 
такое, что $n\leq m^2$. Докажите, что существует человек $A$, который 
пожал руку не более чем $d\cdot (m-1)$ людям, где $d$ -- количество друзей $A$.
(Китай, отбор на ММО, 2023, упрощение)
%4-5

4. Найдите все вещественные числа $a$, $b$, $c$ такие, что квадратный трёхчлен 
$P(x)=ax^2+bx+c$ удовлетворяет следующим условиям:
$|P(x)| \leq 1$ при $|x| \leq 1$ и $P(x)\geq 7$ при $x\geq 2$. 
(Ханой, открытое математическое соревнование, 2014) 

5. Точка $H$~-- ортоцентр остроугольного неравнобедренного 
треугольника $ABC$ соответственно. Точки $P$ и $Q$ выбраны 
на описанной окружности $\omega$ так, что $\angle BPH=\angle CQH=90^\circ$. 
Пусть прямая $PQ$ пересекает касательную к $\omega$, проведенную в точке $A$, 
в точке $S$. Докажите, что точка $S$ лежит на средней линии 
треугольника $ABC$.
(С. Кузнецов)

6. Пусть $p>2$ -- простое число. Назовем перестановку $a_1$, $a_2$, 
\dots, $a_p$ чисел 1, 2, 3, \dots, $p$ {\it хорошей}, если 
для любого натурального $i \leq p$ существует натуральное $k$ такое, 
что $a_i\equiv i^k \pmod p$. Докажите, что количество хороших перестановок 
является натуральным делителем числа $(p-1)!$.
(И.Ефремов) 

7. Докажите, что для любой функции $f\colon \Q\to\Z$ существуют 
такие $a, b, c \in \Q$, что $a<b<c$, $f(b)\geq f(a)$ и $f(b)\geq f(c)$.
(IMC, 2024)

8. Некоторые клетки квадрата $2024\times 2024$ покрашены 
в один из трех цветов. При этом каждый цвет присутствует, 
и для каждой покрашенной клетки есть ровно 3 клетки в ее столбце 
и строке, покрашенные в другие цвета. Какое наибольшее количество клеток 
могли быть покрашены?
(Вьетнам, отбор на ММО, 2024) 

9. Маша и Надя играют в следующую игру. У Маши есть 2024 монеты, 
а у Нади -- 2023 монеты. Они одновременно бросают все имеющиеся у них монеты. 
Маша выигрывает, если у нее строго больше орлов, чем у Нади, в противном 
случае выигрывает Надя. Какова вероятность того, что Маша выиграет в этой игре? 
Каждая монета равновероятно выпадает либо орлом, либо решкой. 
(фольклор) 

10. Окружности $s_1$ и $s_2$ касаются внешним образом. Их линия центров 
пересекает $s_1$ в точках $A$ и $P$, и пересекает $s_2$ в точках $B$ и $P$. 
Общая внешняя касательная касается $s_1$ и $s_2$ в точках $A_1$ и $B_1$ 
соответственно. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, 
что $PQ$ является общей касательной для $s_1$ и $s_2$. 
(фольклор) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Второй тур 28.11.2024. Высшая юниорская лига.}

\medskip

1. В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены 
медианы $AK$ и $CM$ и высота $BP$. Из точки $P$ на стороны $AB$ и $BC$ 
опущены перпендикуляры $PD$ и $PE$. Отрезки $DE$ и $KM$ пересекаются 
в точке~$F$. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно $BF$, 
пересекает отрезок $BM$ в точке $X$ и луч $KB$ в точке~$Y$. 
Докажите, что $X$, $Y$ и ортоцентры треугольников $ABC$ и $XBY$ 
лежат на одной окружности.
(А. Кузнецов)

2. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BD$ и $CE$.
Окружность, описанная около треугольника $BDC$, вторично пересекает
отрезки $BE$ и $CE$ в точках $E_1$ и $E_2$ соответственно. 
Описанная окружность треугольника $BEC$ пересекает отрезок $AD$ 
в точке $D_1$, а луч $BD$ в точке $D_2$,  отличной от $B$. Прямая $D_1D_2$
пересекает отрезок $AB$ в точке $B_1$, прямая $E_1E_2$ пересекает отрезок
$AC$ в точке $C_1$. Докажите, что $BC \parallel B_1C_1$.
(А. Кузнецов)
%совсем простая геометрия

3. Петя и Вася играют в игру на доске $101 \times 101$. Они по очереди 
(начинает Петя) выбирают клетку, которая до этого никем не была выбрана, 
и проводят в ней красный отрезок от середины одной стороны до середины 
противоположной, причём Петя проводит только вертикальные отрезки, 
а Вася только горизонтальные.  Игра заканчивается, когда в каждой 
из $101^2$ клеток будет проведён отрезок. После этого Петя находит 
на доске самый длинный вертикальный красный отрезок, а Вася -- 
горизонтальный. Выигрывает тот, у кого отрезок длиннее (если длины равны -- 
игра заканчивается ничьей). Каким будет результат при правильной игре 
обоих игроков?  
(Иран, 3 тур, 2024) 

4. Стороны треугольника $T_2$ на 1 больше соответствующих сторон 
треугольника $T_1$. Верно ли, что треугольник $T_1$ всегда можно накрыть 
треугольником $T_2$?
(уплощение задачи старшей второй лиги) 
%комбигео, ст

5. Пусть $n$ -- натуральное число, а $p\neq n$ -- простое такое, 
что ${p+1\over 2}$ также простое, а число ${p^2+n\over p+n^2}$ -- целое. 
Докажите, что $p-1$ -- точный квадрат.
(Шортлист юниорской Балканиады, 2023) 

6. Миша написал на длинной полоске бумаги в каком-то порядке некоторые 
из чисел $2, 2^2, \ldots, 2^{1917}$, возможно, с повторениями, 
а Вася на своей полоске какое-то количество раз написал число $2^{1918}$. 
Могут ли полученные последовательности цифр совпасть?
(Г.Шарафетдинова) 
%теория цифр, средняя 

7. На вечеринке присутствуют $n$ человек. Среди них не более $n$ пар друзей 
и у каждого человека есть хотя бы один друг. Два человека пожимают 
друг другу руки тогда и только тогда, когда у них есть хотя бы 1 общий друг. 
Дано целое число $m\geq 3$ такое, что $n\leq m^3$. Докажите, что 
существует человек, для которого количество людей, пожимавших ему руку, 
не больше количества его друзей, умноженного на $m-1$.  
(Китай, отбор на ММО, 2023)
%комба, т

8. Последовательность $a_1$, $a_2$, \dots натуральных чисел такова, что 
$a_n\leq 3n$ при всех $n$, а $a_m+a_n$ при всех $m$ и $n$ содержит 2 
в той же степени, что и $m+n$. Докажите, что каждое кратное 3 встречается 
в последовательности $(a_n)$ ровно один раз. 
(Польша, сборы на ММО, 2023) 
%алгебра, ст-т

9. Вещественные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют условию 
$$(a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)=11.$$
Докажите, что 
$$(a^2+b^2+c^2)\left({1\over a^2}+{1\over b^2}+{1\over c^2}\right)\geq 19.$$
(Польша, сборы на ММО, 2024)
%алгебра, л

10. На окружности отмечено $2n$ точек: $n$ красных и $n$ синих. 
На одной из красных точек сидит красная лягушка, а на одной из синих 
сидит синяя. Каждую минуту красная лягушка перепрыгивает на следующую 
по часовой стрелке красную точку, и одновременно с ней синяя лягушка 
перепрыгивает на следующую против часовой стрелки синюю точку. 
Докажите, что для любого изначального расположения лягушек можно 
провести прямую так, что лягушки всегда будут находиться по разные стороны 
от этой прямой. 
(Малайзия, отбор на ММО, 2024) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Второй тур 28.11.2024. Первая юниорская лига.}

\medskip

1. Точка $M$ -- середина основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ 
с углом при основании $\alpha$. На отрезке $AM$ отмечена точка $D$. 
Центр $P$ окружности $(BCD)$ лежит внутри треугольника $BMC$, 
точка $Q$ -- центр окружности $(ABD)$. Оказалось, что 
$\angle PMQ=90^\circ+\alpha$. Докажите, что биссектрисы углов $PMQ$ и $MBD$ 
параллельны. 
(А. Кузнецов)

2. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BD$ и $CE$.
Окружность, описанная около треугольника $BDC$, вторично пересекает
отрезки $BE$ и $CE$ в точках $E_1$ и $E_2$ соответственно. 
Описанная окружность треугольника $BEC$ пересекает отрезок $AD$ 
в точке $D_1$, а луч $BD$ в точке $D_2$,  отличной от $B$. Прямая $D_1D_2$
пересекает отрезок $AB$ в точке $B_1$, прямая $E_1E_2$ пересекает отрезок
$AC$ в точке $C_1$. Докажите, что $BC \parallel B_1C_1$.
(А. Кузнецов)

3. Петя и Вася играют в игру на доске $101 \times 101$. Они по очереди 
(начинает Петя) выбирают клетку, которая до этого никем не была выбрана, 
и проводят в ней красный отрезок от середины одной стороны до середины 
противоположной, причём Петя проводит только вертикальные отрезки, 
а Вася только горизонтальные.  Игра заканчивается, когда в каждой 
из $101^2$ клеток будет проведён отрезок. После этого Петя находит 
на доске самый длинный вертикальный красный отрезок, а Вася -- 
горизонтальный. Выигрывает тот, у кого отрезок длиннее (если длины равны -- 
игра заканчивается ничьей). Каким будет результат при правильной игре 
обоих игроков?  
(Иран, 3 тур, 2024) 

4. Стороны треугольника $T_2$ на 1 больше соответствующих сторон 
треугольника $T_1$. Верно ли, что треугольник $T_1$ всегда можно накрыть 
треугольником $T_2$?
(уплощение задачи старшей второй лиги) 

5. Пусть $n$ -- натуральное число, а $p\neq n$ -- простое такое, 
что ${p+1\over 2}$ также простое, а число ${p^2+n\over p+n^2}$ -- целое. 
Докажите, что $p-1$ -- точный квадрат.
(Шортлист юниорской Балканиады, 2023) 

6. Простое число назовём {\it особым}, если на него делится сумма всех меньших 
простых чисел. Могут ли два последовательных простых числа быть особыми? 
(J.Zhouf, Чехия, 2023/24, 1 этап, категория A) 

7. На вечеринке присутствуют $n$ человек. Среди них не более $n-1$ пары 
друзей и у любого человека есть хотя бы один друг. Два человека пожимают 
друг другу руки тогда и только тогда, когда у них есть хотя бы $1$ общий друг. 
Дано целое число $m\geq 3$ такое, что $n\leq m^3$. Докажите, что существует 
человек, для которого количество людей, пожимавших ему руку, не больше количества его друзей, умноженного на $m-1$.  
(Китай, отбор на ММО, 2023)

8. Обозначим через $s(n)$ сумму цифр натурального числа $n$. 
Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать 
так, чтобы для любых двух выбранных чисел $a$ и $b$ выполнялось условие: 
``$a$ делится на $b$ тогда и только тогда, когда $s(a)$ делится на $s(b)$''?
(Отбор на юниорскую Балканиаду, 2023) 

9. Положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ удовлетворяют условию 
$$(a+b+c+d)\left({1\over a+b}+{1\over c+d}\right)=11.$$
Докажите, что
$$(a^2+b^2+c^2+d^2)\left({1\over a^2}+{1\over b^2}+{1\over c^2}+{1\over d^2}\right)\geq 324.$$
(Д.Ширяев по мотивам: Польша, сборы на ММО, 2024)
%алгебра, л

10. На окружности отмечено $2n$ точек: $n$ красных и $n$ синих. 
На одной из красных точек сидит красная лягушка, а на одной из синих 
сидит синяя. Каждую минуту красная лягушка перепрыгивает на следующую 
по часовой стрелке красную точку, и одновременно с ней синяя лягушка 
перепрыгивает на следующую против часовой стрелки синюю точку. 
Докажите, что для любого изначального расположения лягушек можно 
провести прямую так, что лягушки всегда будут находиться по разные стороны 
от этой прямой. 
(Малайзия, отбор на ММО, 2024) 

\medskip

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Второй тур 28.11.2024. Вторая юниорская лига.}

\medskip

1. Точка $M$ -- середина основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ 
с углом при основании $\alpha$. На отрезке $AM$ отмечена точка $D$. 
Центр $P$ окружности $(BCD)$ лежит внутри треугольника $BMC$, 
точка $Q$ -- центр окружности $(ABD)$. Оказалось, что 
$\angle PMQ=90^\circ+\alpha$. Докажите, что биссектрисы углов $PMQ$ и $MBD$ 
параллельны. 
(А. Кузнецов) 

2. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BD$ и $CE$.
Окружность, описанная около треугольника $BDC$, вторично пересекает
отрезки $BE$ и $CE$ в точках $E_1$ и $E_2$ соответственно. 
Описанная окружность треугольника $BEC$ пересекает отрезок $AD$ 
в точке $D_1$, а луч $BD$ в точке $D_2$,  отличной от $B$. Прямая $D_1D_2$
пересекает отрезок $AB$ в точке $B_1$, прямая $E_1E_2$ пересекает отрезок
$AC$ в точке $C_1$. Докажите, что $BC \parallel B_1C_1$.
(А. Кузнецов)

3. Петя и Вася играют в игру на доске $101 \times 101$. Они по очереди 
(начинает Петя) выбирают клетку, которая до этого никем не была выбрана, 
и проводят в ней красный отрезок от середины одной стороны до середины 
противоположной, причём Петя проводит только вертикальные отрезки, 
а Вася только горизонтальные.  Игра заканчивается, когда в каждой 
из $101^2$ клеток будет проведён отрезок. После этого Петя находит 
на доске самый длинный вертикальный красный отрезок, а Вася -- 
горизонтальный. Выигрывает тот, у кого отрезок длиннее (если длины равны -- 
игра заканчивается ничьей). Каким будет результат при правильной игре 
обоих игроков?  
(Иран, 3 тур, 2024) 

4. Верно ли, что можно увеличить две стороны любого треугольника на 1, 
сохранив угол между ними, таким образом, чтобы третья сторона увеличилась 
хотя бы на 1?
(Фольклор) 

5. Пусть $n$ -- натуральное число, а $p\neq n$ -- простое такое, 
что ${p+1\over 2}$ также простое, а число ${p^2+n\over p+n^2}$ -- целое. 
Докажите, что $p-1$ -- точный квадрат.
(Шортлист юниорской Балканиады, 2023) 

6. Простое число назовём {\it особым}, если на него делится сумма всех меньших 
простых чисел. Могут ли два последовательных простых числа быть особыми? 
(J.Zhouf, Чехия, 2023/24, 1 этап, категория A) 

7. В Хогвартсе есть несколько лестничных площадок, соединенных 
волшебными лестницами. Каждая площадка соединена ровно с половиной из 
остальных. Ровно в 12 дня каждая лестница должна переместиться так, чтобы 
один из ее концов остался на прежней площадке, а другой передвинулся бы к 
другой площадке. Докажите, что Дамблдор может организовать этот процесс 
так, чтобы после перемещения каждая площадка оказалось соединена
ровно с теми площадками, с которыми не была соединена ранее.
(А.Кузнецов) 

8. Обозначим через $s(n)$ сумму цифр натурального числа $n$. 
Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать 
так, чтобы для любых двух выбранных чисел $a$ и $b$ выполнялось условие: 
``$a$ делится на $b$ тогда и только тогда, когда $s(a)$ делится на $s(b)$''?
(Отбор на юниорскую Балканиаду, 2023) 

9. Найдите все вещественные числа $a$, $b$, $c$ такие, что квадратный трёхчлен 
$f(x)=ax^2+bx+c$ удовлетворяет следующим условиям: 
$|f(x)| \leq 1$ при $|x| \leq 1$ и $f(x)\geq 7$ при $x\geq 2$. 
(Ханой, открытое математическое соревнование, 2014) 

10. На окружности отмечено $2n$ точек: $n$ красных и $n$ синих. 
На одной из красных точек сидит красная лягушка, а на одной из синих 
сидит синяя. Каждую минуту красная лягушка перепрыгивает на следующую 
по часовой стрелке красную точку, и одновременно с ней синяя лягушка 
перепрыгивает на следующую против часовой стрелки синюю точку. 
Докажите, что для любого изначального расположения лягушек можно 
провести прямую так, что лягушки всегда будут находиться по разные стороны 
от этой прямой. 
(Малайзия, отбор на ММО, 2024) 

\end 
