\nopagenumbers 

\hoffset=-1.5truecm

\hsize=18.5truecm

\voffset=-1.9truecm

\vsize=26.7truecm

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\def\Q{\Bbb Q}
\def\C{\Bbb C}

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Третий тур 30.11.2024. Высшая лига.}

\medskip 

1. Точки $M$ и $N$ -- середины сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ 
соответственно. Отрезки $AN$ и $DM$ пересекаются в точке $E$. На стороне
$BC$ отмечена точка $F$ так, что четырехугольник $MENF$ -- вписанный.
Прямая $AD$ вместе с лучами $FM$ и $NE$ образуют треугольник
$\Delta_1$, а вместе с лучами $ME$ и $FN$ -- треугольник $\Delta_2$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $\Delta_1$ и $\Delta_2$
касаются. 
(А. Кузнецов) 

2. У мага в игре есть мана и красивость, представленные натуральными 
числами. За один ход маг может сделать ровно одно из трёх действий: 
(1) если у мага есть хотя бы $2n+1$ маны для некоторого натурального 
числа $n$, то можно потратить $2n$ маны и сделать его красивость равной~$n$; 
(2) уменьшить хотя бы на~1 красивость до любого натурального числа; 
(3) уменьшить хотя бы на~1 ману до любого натурального числа. Петя и Вася 
по очереди контролируют мага. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. 
Начинает Петя. Изначально у мага было $10^6$ маны. Существует ли изначальная 
красивость мага, при которой Вася может выиграть, как бы ни играл Петя?
(А. Гнусов) 

3. Пусть $p$ -- простое число. Дан полный граф на $p^2$ вершинах. 
Его ребра раскрашены в $k$ цветов так, что в любом его индуцированном 
подграфе на $p+1$ вершине найдутся ребра всех цветов. Какое наибольшее 
значение может принимать $k$?
(Б. Яковлев)

4. Пусть $n$ -- натуральное число. Назовём {\it хорошими} числа, 
являющиеся суммами не более чем $n$ (не обязательно различных) чисел 
Фибоначчи. Докажите, что количество членов в любой возрастающей 
арифметической прогрессии, состоящей из хороших чисел, не превосходит 
$\displaystyle 4\cdot \left(\frac{5+\sqrt5}2\right)^{n-1}$.
(MathOverflow, И. Богданов) 

5. Все грани выпуклого многогранника -- четырёхугольники. Его вершины 
раскрашены в два цвета так, что у любого ребра один конец серый, другой белый. 
Каждой белой вершине сопоставлена точка на плоскости, а каждой серой -- 
окружность (все сопоставленные точки и окружности различны). При этом 
ни для какого ребра точка, сопоставленная его белому концу, не лежит 
на окружности, сопоставленной серому концу, и любые две окружности, 
соответствующих серым точкам, пересекаются в двух точках. Оказалось, 
что для всех граней многогранника, кроме одной, выполнено следующее 
условие: {\it две общие точки окружностей, сопоставленных её серым вершинам, 
и две точки, сопоставленные её белым вершинам, лежат на одной окружности 
или на одной прямой}. Докажите, что и для оставшейся грани это так.
(Ф. Петров по мотивам С. Фомина и П. Пилявского)

6. При каком наибольшем вещественном $a$ существуют вогнутые функции 
$f, g\colon (0,1)\to (0, \infty)$ такие, что $f(x)/g(x)=(1+x)^a$? 
Напомним, что функция $f$, заданная на промежутке $\Delta$, 
называется {\it вогнутой}, если $f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$ 
для любых $x, y\in \Delta$ и любого $t\in [0,1]$.
(Ф. Петров) 

7. На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ выбраны 
точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Четырёхугольники $AB_1A_1C_1$, 
$BC_1B_1A_1$ и $CA_1C_1B_1$ описаны около окружностей с центрами 
$I_A$, $I_B$ и $I_C$ соответственно. Докажите, что площади 
треугольников $A_1B_1C_1$ и $I_AI_BI_C$ отличаются в четыре раза.
(И. Замоторин)
% Г 4-5

8. Многочлен $f(x,y)$ с комплексными коэффициентами назовём 
{\it разделённым}, если он представим в виде суммы многочлена от $x$ 
и многочлена от $y$. Разложим разделённый многочлен на неприводимые 
над $\C$ множители. Обязательно ли один из них разделённый?
(H. Davenport, D.J. Lewis, A. Schinzel)

9. Дано натуральное $d\geq 100$. $N=100^d$ бегунов бегут по часовой стрелке 
по окружности длины $N$ со скоростями 1, 2, \dots, $N$. Докажите, что 
можно выбрать первоначальную расстановку бегунов так, что в любой момент 
времени на круге не будет пустой дуги длины $100d$.
(MathOverflow)

10. Существует ли натуральное число $n>1$, при котором первые цифры 
чисел $2^n$, $3^n$, \ldots, $9^n$ образуют перестановку цифр 2, 3, \dots, 9? 
(Nieuw Archief voor Wiskunde, 2013, \No 4)

\medskip 

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Третий тур 30.11.2024. Первая лига.}

\medskip 

1. Точки $M$ и $N$ -- середины сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ 
соответственно. Отрезки $AN$ и $DM$ пересекаются в точке $E$. На стороне
$BC$ отмечена точка $F$ так, что четырехугольник $MENF$ -- вписанный.
Прямая $AD$ вместе с лучами $FM$ и $NE$ образуют треугольник
$\Delta_1$, а вместе с лучами $ME$ и $FN$ -- треугольник $\Delta_2$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $\Delta_1$ и $\Delta_2$
касаются. 
(А. Кузнецов) 

2. Орёл и Хомяк играют в следующую игру. У них есть клетчатая полуплоскость 
(изначально пустая), лежащая сверху от горизонтальной прямой. За ход Орёл 
ставит один нолик в клетку, а затем Хомяк последовательно ставит два крестика. 
При этом ставить значок можно лишь в пустую клетку, под которой пустых нет. 
Если в некоторый момент оказывается, что три нолика стоят подряд 
в одном горизонтальном, вертикальном или диагональном ряду, 
Орёл съедает Хомяка. Может ли Хомяк гарантировать себе вечную жизнь? 
(Nieuw Archief voor Wiskunde, 2022, \No 3)

3. Пусть $p$ -- простое число. Дан полный граф на $p^2$ вершинах. 
Его ребра раскрашены в $k$ цветов так, что в любом его индуцированном 
подграфе на $p+1$ вершине найдутся ребра всех цветов. Какое наибольшее 
значение может принимать $k$?
(Б. Яковлев)

4. Пусть $n$ -- натуральное число. Назовём {\it хорошими} числа, 
являющиеся суммами не более чем $n$ (не обязательно различных) чисел 
Фибоначчи. Докажите, что количество членов в любой возрастающей 
арифметической прогрессии, состоящей из хороших чисел, не превосходит 
$\displaystyle 4\cdot \left(\frac{5+\sqrt5}2\right)^{n-1}$.
(MathOverflow, И. Богданов) 

5. Все грани выпуклого многогранника -- четырёхугольники. Его вершины 
раскрашены в два цвета так, что у любого ребра один конец серый, другой белый. 
Каждой белой вершине сопоставлена точка на плоскости, а каждой серой -- 
окружность (все сопоставленные точки и окружности различны). При этом 
ни для какого ребра точка, сопоставленная его белому концу, не лежит 
на окружности, сопоставленной серому концу, и любые две окружности, 
соответствующих серым точкам, пересекаются в двух точках. Оказалось, 
что для всех граней многогранника, кроме одной, выполнено следующее 
условие: {\it две общие точки окружностей, сопоставленных её серым вершинам, 
и две точки, сопоставленные её белым вершинам, лежат на одной окружности 
или на одной прямой}. Докажите, что и для оставшейся грани это так.
(Ф. Петров по мотивам С. Фомина и П. Пилявского)

6. Для неотрицательных действительных чисел $x$, $y$, $z$ таких, 
что $x+y+z=3$, и натуральных чисел $k$ и $m$ докажите неравенство
$$\root \scriptstyle m\of {xy}\cdot {\root\scriptstyle k\of z\over 1+\root \scriptstyle k\of z}+\root \scriptstyle m\of {yz}\cdot {\root \scriptstyle k\of x\over 1+\root \scriptstyle k\of x}+\root \scriptstyle m\of {zx}\cdot {\root \scriptstyle k\of y\over 1+\root \scriptstyle k\of y}\leq {3\over 2}.$$
(A. Garcia) 

7. На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ выбраны 
точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Четырёхугольники $AB_1A_1C_1$, 
$BC_1B_1A_1$ и $CA_1C_1B_1$ описаны около окружностей с центрами 
$I_A$, $I_B$ и $I_C$ соответственно. Докажите, что площади 
треугольников $A_1B_1C_1$ и $I_AI_BI_C$ отличаются в четыре раза.
(И. Замоторин)

8. Многочлен $f(x,y)$ с комплексными коэффициентами назовём 
{\it разделённым}, если он представим в виде суммы многочлена от $x$ 
и многочлена от $y$. Разложим разделённый многочлен на неприводимые 
над $\C$ множители. Обязательно ли один из них разделённый?
(H. Davenport, D.J. Lewis, A. Schinzel)

9. 2024 одинаковые книги разложены по нескольким стопкам. Андрею можно 
проводить следующие операции: если в каждой стопке хотя бы $k$ книг, 
то он может забрать из каждой стопки по $k$ книг и разложить все взятые 
книги на $k$ новых равных стопок (при разных операциях значения $k$ 
могут быть разными). При каком наибольшем $N$ Андрей всегда может 
с помощью таких операций последовательно получить несколько расположений 
книг, среди которых есть хотя бы $N$ различных расположений? Расположения 
считаются различными, если найдется такое натуральное $t$, что стопок 
высоты $t$ в этих расположениях не поровну.
(Г. Шарафетдинова) 

10. Существует ли натуральное число $n>1$, при котором первые цифры 
чисел $2^n$, $3^n$, \ldots, $9^n$ образуют перестановку цифр 2, 3, \dots, 9? 
(Nieuw Archief voor Wiskunde, 2013, \No 4)

\medskip 

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Третий тур 30.11.2024. Вторая лига.}

\medskip 

1. На клетчатой плоскости расположен выпуклый многоугольник $M$ с вершинами 
в узлах сетки. Докажите, что для любого $\lambda>1$ на клетчатой плоскости 
можно расположить два различных многоугольника с вершинами в узлах сетки, 
подобных $M$, так, чтобы один содержался строго внутри другого, 
их соответствующие стороны не были параллельны, а их периметры отличались 
не более чем в $\lambda$ раз.
(И.Ефремов) 

2. Дано натуральное число $n$. На большой гирлянде висит $2n+1$ лампочка. 
Каждую секунду некоторые лампочки загораются, а некоторые -- гаснут. 
Дима наблюдает за гирляндой и записывает, сколько лампочек горит. 
Он заметил, что если в данный момент горит $k$ лампочек, то 
к следующей секунде ровно $k$ лампочек изменяют свое состояние. 
Дима наблюдал за гирляндой $t$ секунд и записал~$t$ попарно различных чисел. 
Найдите наибольшее возможное значение $t$. Ответ может зависеть от $n$.
(А. Кузнецов)
% начальное состояние тоже учитывается!  

3. Пусть $S$~-- центр масс равностороннего тетраэдра $ABCD$, 
$P$~-- произвольная точка внутри него. Точку $P$ отразили относительно 
граней тетраэдра $ABCD$ и получили точки $X$, $Y$, $Z$ и~$T$. Докажите, 
что центр масс тетраэдра $XYZT$ лежит на отрезке $PS$, и найдите, в каком 
отношении он делит этот отрезок.
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2023\No 10, B.5341)
%8

4. Функция $f\colon\R^3 \to \R$ такова, что для любых $a, b, c, d, e\in \R$ 
выполнено 
$$f(a,b,c)+f(b,c,d)+f(c,d,e)+f(d,e,a)+f(e,a,b)=5.$$ 
Докажите, что для любых $a, b, c\in \R$ выполнено 
$f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)=3$.
(И. Ефремов по мотивам фольклора)

5. На доске $101\times 101$ расставлено несколько шахматных коней 
так, что каждая клетка доски побита четным числом коней, возможно, 
ни одним. Докажите, что множество клеток, на которых стоят кони, 
симметрично относительно центральной строки и центрального столбца. 
Считается, что конь {\bf не} бьет клетку, на которой он стоит.
(США, эрзац-олимпиада, 2024) 

6. Найдите все натуральные $n$ такие, что число $3^n-2^n-1$ 
является квадратом целого числа.
(Олимпиада "Cono Sur", 2024) 

7. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $\angle A$ точки $E$ и $F$~-- 
основания высот, проведенных из вершин $B$ и $C$ соответственно. 
Касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $B$ и $C$ 
пересекают прямую $EF$ в точках $K$ и $L$ соответственно. 
Оказалось, что $\angle CLB=135^\circ$. На отрезке $BK$ выбрана точка $X$ 
так, что $KX=KL$, а на продолжении луча $BK$ за точку $K$ выбрана точка $Y$ 
так, что $\angle BLY=135^\circ$. Докажите, что окружность с диаметром $XY$ 
касается описанной окружности треугольника $ABC$.
(Иран, отбор на ММО, 2024) 

8. Последовательности вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, \dots 
и ненулевых вещественных чисел $b_1$, $b_2$, $b_3$, \dots таковы, 
что для каждого натурального $n$ выполнены условия
$$a_{n+2}=a_n a_{n+1}+b_n b_{n+1},$$
$$b_{n+2}=a_n b_{n+1}-a_{n+1} b_n.$$
Оказалось, что существует последовательность чисел $c_1$, $c_2$, $c_3$, \dots 
такая что для каждого натурального $n$
многочлен $x^6+c_{2n-1}x^5+c_{2n}x^4+\ldots+c_{2n+4}$ 
имеет 6 вещественных корней, равных 
$${a_{2n-1}\over b_{2n-1}},\  {a_{2n}\over b_{2n}},\  {a_{2n+1}\over b_{2n+1}},\  {a_{2n+2}\over b_{2n+2}},\  {a_{2n+3}\over b_{2n+3}},\  {a_{2n+4}\over b_{2n+4}}.$$ 
Докажите, что $c_{2n-1}+c_{2n+3}=c_{2n+1}$ для всех натуральных $n$.
(Индонезия, национальная неделя математики, 2024)

9. По кругу написаны числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_{100}$, 
каждое из которых равно либо ``$+1$'', либо ``$-1$''. Раз в минуту Игорь 
проделывает следующий ритуал: смотрит на часы, затем меняет знак 
у числа $a_i$, рядом с которым находится, после чего отправляется 
к числу $a_{i+a_i}$ ($a_0=a_{100}$, $a_{101}=a_1$). В 10:00 Игорь 
впервые обнаружил, что числа такие же, как были изначально, а он 
находится в том же самом месте, где начинал свое путешествие. 
Сколько времени будет на часах, когда Игорь увидит такую ситуацию 
во второй раз? Найдите все варианты и докажите, что других нет.
(Австрия, предварительный этап, 2024) 
% 7-8

10. Назовем натуральное число {\it безнулевым}, если в его десятичной 
записи нет нулей, в противном случае, назовем его {\it снулевым}. 
Верно ли, что для любого натурального $k$ найдется натуральное~$n$ такое, 
что количество cнулевых чисел, не превосходящих $n$, ровно в $k$ раз 
больше количества безнулевых чисел, не превосходящих $n$?
(И.Варфоломеев, Д.Ширяев) 

\medskip 

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Третий тур 30.11.2024. Третья лига.}

\medskip 

1. Можно ли расположить на плоскости 126 квадратов со сторонами 1, 2, 3, 
\dots, 126 так, что их стороны параллельны осям координат, квадраты 
пересекаются только по вершинам, и для любого квадрата $A$ существует 
ровно два других квадрата, имеющих с $A$ общую вершину?
(Азиатско-Тихоокеанская олимпиада, 2023, частный случай) 

2. Дано натуральное число $n$. На большой гирлянде висит $2n+1$ лампочка. 
Каждую секунду некоторые лампочки загораются, а некоторые -- гаснут. 
Дима наблюдает за гирляндой и записывает, сколько лампочек горит. 
Он заметил, что если в данный момент горит $k$ лампочек, то 
к следующей секунде ровно $k$ лампочек изменяют свое состояние. 
Дима наблюдал за гирляндой $t$ секунд и записал~$t$ попарно различных чисел. 
Найдите наибольшее возможное значение $t$. Ответ может зависеть от $n$.
(А. Кузнецов)
% начальное состояние тоже учитывается!  

3. Пусть $S$~-- центр масс равностороннего тетраэдра $ABCD$, 
$P$~-- произвольная точка внутри него. Точку $P$ отразили относительно 
граней тетраэдра $ABCD$ и получили точки $X$, $Y$, $Z$ и~$T$. Докажите, 
что центр масс тетраэдра $XYZT$ лежит на отрезке $PS$, и найдите, в каком 
отношении он делит этот отрезок.
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2023\No 10, B.5341)

4. Функция $f\colon\R^2 \to \R$ такова, что для любых $a, b, c\in \R$ выполнено 
$$f(a,b)+f(b,c)+f(c,a)=0.$$
Докажите, что существует функция $g\colon\R\to \R$ такая, что 
$f(a, b)=g(a)-g(b)$, для любых $a, b\in \R$.
(Упрощение задачи второй лиги) 

5. На доске $7\times 7$ расставлено несколько шахматных коней так, 
что каждая клетка доски побита четным числом коней, возможно, ни одним. 
Докажите, что множество клеток, на которых стоят кони, симметрично 
относительно центральной строки и центрального столбца. Считается, 
что конь {\bf не} бьет клетку, на которой он стоит.
(США, эрзац-олимпиада, 2024, маленький частный случай) 

6. Найдите все натуральные $n$ такие, что число $3^n-2^n-1$ 
является квадратом целого числа.
(Олимпиада "Cono Sur", 2024) 

7. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $\angle A$ точки $E$ и $F$~-- 
основания высот, проведенных из вершин $B$ и $C$ соответственно. 
Касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $B$ и $C$ 
пересекаются в точке $D$. Отрезки $DB$ и $DC$ пересекают 
отрезок $EF$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что центр вневписанной 
окружности треугольника $DKL$ лежит на прямой $BC$. 
(А. Смирнов по мотивам задачи второй лиги)

8. Последовательности вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, \dots 
и ненулевых вещественных чисел $b_1$, $b_2$, $b_3$, \dots таковы, 
что для каждого натурального $n$ выполнены условия
$$a_{n+2}=a_n a_{n+1}+b_n b_{n+1},$$
$$b_{n+2}=a_n b_{n+1}-a_{n+1} b_n.$$
Оказалось, что существует последовательность чисел $c_1$, $c_2$, $c_3$, \dots 
такая что для каждого натурального $n$
многочлен $x^6+c_{2n-1}x^5+c_{2n}x^4+\ldots+c_{2n+4}$ 
имеет 6 вещественных корней, равных 
$${a_{2n-1}\over b_{2n-1}},\  {a_{2n}\over b_{2n}},\  {a_{2n+1}\over b_{2n+1}},\  {a_{2n+2}\over b_{2n+2}},\  {a_{2n+3}\over b_{2n+3}},\  {a_{2n+4}\over b_{2n+4}}.$$ 
Докажите, что $c_{2n-1}+c_{2n+3}=c_{2n+1}$ для всех натуральных $n$.
(Индонезия, национальная неделя математики, 2024)

9. По кругу написаны числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_{100}$, 
каждое из которых равно либо ``$+1$'', либо ``$-1$''. Раз в минуту Игорь 
проделывает следующий ритуал: смотрит на часы, затем меняет знак 
у числа $a_i$, рядом с которым находится, после чего отправляется 
к числу $a_{i+a_i}$ ($a_0=a_{100}$, $a_{101}=a_1$). В 10:00 Игорь 
впервые обнаружил, что числа такие же, как были изначально, а он 
находится в том же самом месте, где начинал свое путешествие. 
Сколько времени будет на часах, когда Игорь увидит такую ситуацию 
во второй раз? Найдите все варианты и докажите, что других нет.
(Австрия, предварительный этап, 2024) 

10. Назовем натуральное число {\it безнулевым}, если в его десятичной 
записи нет нулей, в противном случае, назовем его {\it снулевым}. 
Верно ли, что для любого натурального $k$ найдется натуральное~$n$ такое, 
что количество cнулевых чисел, не превосходящих $n$, ровно в $k$ раз 
больше количества безнулевых чисел, не превосходящих $n$?
(И.Варфоломеев, Д.Ширяев) 

\medskip 

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Третий тур 30.11.2024. Высшая юниорская лига.}

\medskip 

1. Дано натуральное число $n$. Вещественные числа $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$ 
таковы, что
$|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|=1$. Найдите наименьшее возможное значение 
выражения 
$$\sum_{k=1}^n\left|x_k-\sum_{i=1}^{k-1} x_i\right|.$$
(Польша, сборы на ММО, 2023) 

2. Верно ли, что для любого $n>100500$ на плоскости можно 
расположить $n$ квадратов со сторонами 1, 2, 3, \dots , $n$ так, 
что их стороны параллельны осям координат, квадраты пересекаются 
только по вершинам, и для любого квадрата $A$ существует ровно 
два других квадрата, имеющих с $A$ общую вершину? 
(Азиатско-Тихоокеанская олимпиада, 2023) 

3. Точки $M$ и $N$ -- середины сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$.
Отрезки $AN$ и $DM$ пересекаются в точке $E$. На стороне
$BC$ отмечена точка $F$ так, что четырехугольник $MENF$ -- вписанный.
Прямая $AD$ вместе с лучами $FM$ и $NE$ образуют треугольник
$\Delta_1$, а вместе с лучами $ME$ и $FN$ -- треугольник $\Delta_2$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $\Delta_1$ и $\Delta_2$
касаются.  
(А. Кузнецов) 

4. Назовём число безнулёвым, если в его десятичной записи нет нулей, 
в противном случае, назовём его нулёвым. Пусть $a_n$ и $b_n$ -- количество 
нулёвых и безнулёвых чисел от 1 до $n$. Верно ли, что при любом 
натуральном $k$ существует $n$, для которого $a_n/b_n=k$?
(И.Варфоломеев, Д.Ширяев) 

5. 2024 одинаковые книги разложены по нескольким стопкам. Андрею можно 
проводить следующие операции: если в каждой стопке хотя бы $k$ книг, 
то он может забрать из каждой стопки по $k$ книг и разложить 
все взятые книги на $k$ равных новых стопок (при разных операциях $k$ 
могут быть разными). При каком наибольшем $N$ Андрей всегда сможет получить 
такими операциями хотя бы $N$ различных распределений книг по стопкам, 
с какого бы распределения он ни начинал? (Распределения считаются 
различными, если найдется такое $t$, что стопок из $t$ книг в них не поровну.)
(Г.Шарафетдинова) 
%комба, ст

6. Алиса и Эльдар играют в игру. В начале на доске написаны 5000 нулей 
и 5000 единиц. За один ход можно стереть с доски два числа и записать 
вместо них на доску их среднее арифметическое. Алиса делает 3000 ходов подряд, 
затем Эльдар делает ходы, пока на доске не останется всего два числа. 
Если эти два числа равны, Эльдар выигрывает, в противном случае выигрывает 
Алиса. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
(Израиль, отбор на ММО, 2024) 

7. Дано натуральное число $n$. При каком наибольшем $k$ можно 
покрасить клетки доски $n\times n$ в $k$ цветов таким образом, что 
для любого цвета $A$ среди всех соседей по стороне у клеток, покрашенных 
в цвет $A$, в совокупности встречаются клетки не более, чем двух 
различных цветов, отличных от $A$? 
(фольклор) 

8. Окружность $\omega_a$ проходит через ортоцентр $H$ остроугольного 
треугольника $ABC$, основание высоты, опущенной на  сторону $BC$, 
и точку, диаметрально противоположную $A$ на окружности $(ABC)$. 
Докажите, что вместе с окружностями $\omega_b$ и $\omega_c$, которые 
определяются аналогично, окружность $\omega_a$ имеет общую точку, 
отличную от точки $H$.
(М.Стукалов)

9. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены 
точки $D$, $E$ и $F$ соответственно, а на отрезке $DE$ выбрана точка $X$. 
Отрезки $AX$, $CX$, $DE$, $DF$, $EF$, $XF$ делят треугольник $ABC$ 
на девять частей. Какое наибольшее количество из них может быть площади 1?
(А. Кузнецов)

10. Дано натуральное число $n$. На большой гирлянде висит $2n+1$ лампочка. 
Каждую секунду некоторые лампочки загораются, а некоторые -- гаснут. 
Дима наблюдает за гирляндой и записывает, сколько лампочек горит. 
Он заметил, что если в данный момент горит $k$ лампочек, то к следующей 
секунде ровно $k$ лампочек изменяют свое состояние. Дима наблюдал 
за гирляндой $t$ секунд и записал $t$ попарно различных чисел. 
Найдите наибольшее возможное значение $t$ (ответ может зависеть от $n$).
(А. Кузнецов)

\medskip 

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Третий тур 30.11.2024. Первая юниорская лига.}

\medskip 

1. Дано натуральное число $n$. Вещественные числа $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$ 
таковы, что
$|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|=1$. Найдите наименьшее возможное значение 
выражения 
$$\sum_{k=1}^n\left|x_k-\sum_{i=1}^{k-1} x_i\right|.$$
(Польша, сборы на ММО, 2023) 

2. Можно ли расположить на плоскости 126 квадратов со сторонами 1, 2, 3, 
\dots, 126 так, что их стороны параллельны осям координат, квадраты 
пересекаются только по вершинам, и для любого квадрата $A$ существует 
ровно два других квадрата, имеющих с $A$ общую вершину?
(Азиатско-Тихоокеанская олимпиада, 2023, частный случай) 

3. Точки $M$ и $N$ -- середины сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$.
Отрезки $AN$ и $DM$ пересекаются в точке $E$. На стороне
$BC$ отмечена точка $F$ так, что четырехугольник $MENF$ -- вписанный.
Прямая $AD$ вместе с лучами $FM$ и $NE$ образуют треугольник
$\Delta_1$, а вместе с лучами $ME$ и $FN$ -- треугольник $\Delta_2$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $\Delta_1$ и $\Delta_2$
касаются.  
(А. Кузнецов) 

4. Назовём число безнулёвым, если в его десятичной записи нет нулей, 
в противном случае, назовём его нулёвым. Пусть $a_n$ и $b_n$ -- количество 
нулёвых и безнулёвых чисел от 1 до $n$. Верно ли, что при любом 
натуральном $k$ существует $n$, для которого $a_n/b_n=k$?
(И.Варфоломеев, Д.Ширяев) 

5. Натуральные числа $a$, $b$ и $n$ таковы, что $ab(a+b)^{n-1}$ 
делится на $a^n+b^n$. Докажите, что если $a$ и $n$ чётны, а $b$ нечётно, 
то $a^n+b^n$ делится на $(n+1)$-ю степень некоторого простого числа. 
(Польша, первый этап, 2024/25) 

6. Алиса и Эльдар играют в игру. В начале на доске написаны 5000 нулей 
и 5000 единиц. За один ход можно стереть с доски два числа и записать 
вместо них на доску их среднее арифметическое. Алиса делает 2500 ходов 
подряд, затем Эльдар делает ходы, пока на доске не останется всего два числа. 
Если эти два числа равны, Эльдар выигрывает, в противном случае выигрывает 
Алиса. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
(Израиль, отбор на ММО, 2024) 

7. Дано натуральное число $n$. При каком наибольшем $k$ можно 
покрасить клетки доски $n\times n$ в $k$ цветов таким образом, что 
для любого цвета $A$ среди всех соседей по стороне у клеток, покрашенных 
в цвет $A$, в совокупности встречаются клетки не более, чем двух 
различных цветов, отличных от $A$? 
(фольклор) 

8. Окружность $\omega_a$ проходит через ортоцентр $H$ остроугольного 
треугольника $ABC$, основание высоты, опущенной на  сторону $BC$, 
и точку, диаметрально противоположную $A$ на окружности $(ABC)$. 
Докажите, что вместе с окружностями $\omega_b$ и $\omega_c$, которые 
определяются аналогично, окружность $\omega_a$ имеет общую точку, 
отличную от точки $H$.
(М.Стукалов)

9. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены 
точки $D$, $E$ и $F$ соответственно, а на отрезке $DE$ выбрана точка $X$. 
Отрезки $AX$, $CX$, $DE$, $DF$, $EF$, $XF$ делят треугольник $ABC$ 
на девять частей. Какое наибольшее количество из них может быть площади 1?
(А. Кузнецов)

10. Дано натуральное число $n$. На большой гирлянде висит $2n+1$ лампочка. 
Каждую секунду некоторые лампочки загораются, а некоторые -- гаснут. 
Дима наблюдает за гирляндой и записывает, сколько лампочек горит. 
Он заметил, что если в данный момент горит $k$ лампочек, то к следующей 
секунде ровно $k$ лампочек изменяют свое состояние. Дима наблюдал 
за гирляндой $t$ секунд и записал $t$ попарно различных чисел. 
Найдите наибольшее возможное значение $t$ (ответ может зависеть от $n$).
(А. Кузнецов)

\medskip 

\centerline{\it Двадцать седьмой математический турнир старшеклассников}

\centerline{\it "Кубок памяти А.Н. Колмогорова"}

\centerline{\it Великий Новгород, 25 ноября -- 2 декабря 2024 года}

\centerline{\bf Третий тур 30.11.2024. Вторая юниорская лига.}

\medskip 

1. Пусть $p$, $q$ -- вещественные числа такие, что квадратное уравнение 
$x^2+px+q=0$ имеет вещественные корни $x_1$ и $x_2$. Оказалось, 
что $p$ и $q$ отличаются на 1, а также $x_1$ и $x_2$ отличаются на 1. 
Докажите, что числа $p$, $q$, $x_1$, $x_2$ -- целые. 
(Австрия, соревнование для начинающих, 2011) 

2. Можно ли расположить на плоскости 126 квадратов со сторонами 1, 2, 3, 
\dots, 126 так, что их стороны параллельны осям координат, квадраты 
пересекаются только по вершинам, и для любого квадрата $A$ существует 
ровно два других квадрата, имеющих с $A$ общую вершину?
(Азиатско-Тихоокеанская олимпиада, 2023, частный случай) 

3. Окружность $\omega$, вписанная в треугольник $ABC$, касается 
его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. 
Точка $D$ диаметрально противоположна точке $B_1$. Отрезки $AD$ и $CD$ 
вторично пересекают окружность $\omega$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, 
что прямая $EF$ проходит через середину отрезка $A_1B_1$. Докажите, 
что эта прямая проходит и через середину $B_1C_1$.
(А. Кузнецов) 
%геометрия 8

4. Назовём число безнулёвым, если в его десятичной записи нет нулей, 
в противном случае, назовём его нулёвым. Пусть $a_n$ и $b_n$ -- количество 
нулёвых и безнулёвых чисел от 1 до $n$. Верно ли, что при любом 
натуральном $k$ существует $n$, для которого $a_n/b_n=k$?
(И.Варфоломеев, Д.Ширяев) 

5. Натуральные числа $a$, $b$ и $n$ таковы, что $ab(a+b)^{n-1}$ 
делится на $a^n+b^n$. Докажите, что если $a$ и $n$ чётны, а $b$ нечётно, 
то $a^n+b^n$ делится на $(n+1)$-ю степень некоторого простого числа. 
(Польша, первый этап, 2024/25) 

6. Алиса и Эльдар играют в игру. В начале на доске написаны 5000 нулей 
и 5000 единиц. За один ход можно стереть с доски два числа и записать 
вместо них на доску их среднее арифметическое. Алиса делает 2500 ходов 
подряд, затем Эльдар делает ходы, пока на доске не останется всего два числа. 
Если эти два числа равны, Эльдар выигрывает, в противном случае выигрывает 
Алиса. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
(Израиль, отбор на ММО, 2024) 

7. Дано натуральное число $n$. При каком наибольшем $k$ можно 
покрасить клетки доски $n\times n$ в $k$ цветов таким образом, что 
для любого цвета $A$ среди всех соседей по стороне у клеток, покрашенных 
в цвет $A$, в совокупности встречаются клетки не более, чем двух 
различных цветов, отличных от $A$? 
(фольклор) 

8. Окружность $\omega_a$ проходит через ортоцентр $H$ остроугольного 
треугольника $ABC$, основание высоты, опущенной на  сторону $BC$, 
и точку, диаметрально противоположную $A$ на окружности $(ABC)$. 
Докажите, что вместе с окружностями $\omega_b$ и $\omega_c$, которые 
определяются аналогично, окружность $\omega_a$ имеет общую точку, 
отличную от точки $H$.
(М.Стукалов)

9. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены 
точки $D$, $E$ и $F$ соответственно, а на отрезке $DE$ выбрана точка $X$. 
Отрезки $AX$, $CX$, $DE$, $DF$, $EF$, $XF$ делят треугольник $ABC$ 
на девять частей. Какое наибольшее количество из них может быть площади 1?
(А. Кузнецов)

10. На большой гирлянде висит 101 лампочка. Каждую секунду 
некоторые лампочки загораются, а некоторые -- гаснут. Дима наблюдает 
за гирляндой и записывает, сколько лампочек горит. Он заметил, что 
если в данный момент горит $k$ лампочек, то к следующей секунде 
ровно $k$ лампочек изменяют свое состояние. Дима наблюдал 
за гирляндой 52 секунды. Могут ли все числа, записанные Димой, 
быть различными?
(А. Кузнецов) 
 
\end 
