\documentclass[a4paper,10pt]{extarticle}                
\usepackage{amssymb, amsmath, graphicx}                        
\usepackage{amsmath}                        
\usepackage[utf8]{inputenc}       
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}           
\usepackage[russian]{babel}                 
\pagestyle{empty}                           
\hoffset=-1in %всю страницы влево
\voffset=-1in %всю страницу вверх
\headheight=0in %высота колонтитула
\headsep=0in %отступ от колонтитула
\textheight=277truemm	                 
\textwidth=190truemm          
\oddsidemargin=10mm %отступ от левого края
\topmargin=10mm %отступ от верхнего края
% \renewcommand{\baselinestretch}{0.95}    
%\input ser.sty
\long\def\q#1.#2 #3\par {%
\expandafter\gdef\csname #2\endcsname{%
\smallskip\noindent\phantom{1}{\bf #1.} {#3}\par }
\csname #2\endcsname}
%\q8.eight условие \par 
%создает макрос \eight
%если ничего не написать, то и макроса не будет

\long\def\paper#1#2{\noindent\scalebox{1.42}{\parbox{0.7\hsize}{
{\scriptsize\centerline{LXV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. ПОКРОВСКОЕ, 25--31.10.2025}}{
\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №\tour. \date.10.2025}
\centerline{\bf СТАРШАЯ ГРУППА, #1 ЛИГА}
\medskip} #2
}}}

\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}

\let\leq\leqslant
\let\geq\geqslant

\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}
\def\tour{3}
\def\date{30}

\begin{document}

\paper{ВЫСШАЯ}{

\q1.one Дано натуральное число $n$. Женя и Саша играют в игру. В начале Женя загадывает перестановку $\pi$ чисел $\{1,2,3,\ldots,2^n\}$. За один ход Саша может сказать Жене перестановку $\tau$ чисел $\{1,2,3,\ldots,2^n\}$, а Женя в ответ скажет, существует ли такое $i$, что $\pi(i) = \tau(i)$. Докажите, что Саша сможет отгадать перестановку $\pi$ не более чем за $2^n(n+2025)$ вопросов. 
% комби 3


\q2.two Существует ли выпуклый девятиугольник, который можно триангулировать, проведя 6 диагоналей длины $x$, а также можно триангулировать, проведя 6 диагоналей длины $y$, при некоторых различных $x$ и $y$?
% КГ, ржаво
%(А. Кузнецов)


\q3. В ряд стоят $n!$ пустых корзин, пронумерованных числами $1,2,\ldots,n!$. Последовательно перебирая $i = 1, 2, \dots , n$, Костя для каждого $i$ положил $i$ камней в каждую корзину, номер которой делится на $i$. Пусть в результате этих действий в $k$-й корзине оказалось $x_k$ камней ($1\leq k\leq n!$).
%Пусть в результате этих действий в $i$-й корзине оказалось $x_i$ камней. 
Докажите, что
$$
\smash{\sum_{i=1}^{n!} x_i^2 \leq n! \cdot n^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}}.
$$
% математика, 4

\q4.four Сколько существует чисел от 1 до $10^5$, представимых в виде 
$$
\gcd(a,b) \cdot \gcd(b,c) + \gcd(b,c) \cdot \gcd(c,a) + \gcd(c,a) \cdot \gcd(a,b),
$$
где $a$, $b$, $c$ --- три не обязательно различных натуральных числа?
(Румыния, юниорский отбор, 2023) 
% тч, 6

\q5.five Точка $M$~--- середина основания $AD$ трапеции $ABCD$, 
ее диагонали пересекаются в точке $X$. Внутри трапеции отмечена 
точка $Y$, а в другой полуплоскости относительно прямой $CD$,
нежели трапеция, отмечена точка $Z$ так, что треугольники $ABY$ и $CDZ$~--- равносторонние. Найдите угол $XMY$, если известно, что точки $M$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
(А. Кузнецов)
% 6-8

\q6.six Даны последовательности вещественных чисел $a_0$, $a_1$, $a_2$, \dots\ и \ $b_0$, $b_1$, $b_2$, \dots, такие что $a_0 = 0$, $b_0 = 0$, и для всех целых неотрицательных $k$ %верно $a_{k+1} = b_k$ и 
$$
a_{k+1} = b_k \qquad\text{и}\qquad  b_{k+1}=\smash{\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}.}
$$
Докажите, что $a_{2024}+b_{2024} \geq 88$.
(Среднеевропейская олимпиада, 2024) 
% 6-8

\q7. За круглым столом сидят $n$ мальчиков и $n$ девочек (где $n\ne 2$ --- чётное число). За один ход можно поменять местами двух детей, сидящих рядом. {\it Энтропия} рассадки --- это наименьшее количество ходов, которые нужно сделать, чтобы каждый ребёнок сидел рядом хотя бы с одним ребёнком того же пола. Какая наибольшая энтропия может быть у рассадки? 
(Македония, 2023)
%комбигроб

\q8. В бесконечной последовательности натуральных чисел $a_1$, $a_2$, \dots\ первые 10\,000 членов попарно различны, а при $n>10\,000$ член $a_n$ определяется как наименьшее натуральное число, не встречавшееся раньше в последовательности, и такое, что разность $|a_n-a_{n-1}|$ является степенью числа $2025$ с целым неотрицательным показателем. Докажите, что в последовательности $a_1$, $a_2$, \dots\ встречаются все натуральные числа. 
(Бразилия, 2025)
% атч гроб

}

\newpage
\paper{ПЕРВАЯ}{

\one 

\two 

\q3.three В ряд стоят $n!$ пустых корзин пронумерованных числами $1,2,\ldots,n!$. Последовательно перебирая $i = 1, 2, \dots , n$, Костя для каждого $i$ положил $i$ камней в~каждую корзину, номер которой делится на $i$. 
Пусть в результате этих действий в $k$-й корзине оказалось $x_k$ камней ($1\leq k\leq n!$).
%Пусть в результате этих действий в~$i$-й корзине оказалось $x_i$ камней. 
Докажите, что 
$$n! \cdot \smash[t]{\Bigl(\frac32n^2-\frac{n}2\Bigr)} \leq x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{n!}^2.$$
% математика, средне-сложная

\kern-3mm
\four 

\five

\six 

\q7.oneprime По прямой трассе в одном направлении бегут $n$ черепашек, каждая со своей постоянной скоростью. Как только одна черепашка обгоняет другую, обе черепашки от удивления удваивают скорость. Известно, что в любой момент скорости любых двух черепашек различны. Верно ли, что через некоторое время обгоны прекратятся?
(ОлЮМШ 2005, 9-10 классы)
%Из 6-го класса


\q8.eight Есть 7 карточек, на каждой черным фломастером написано число от 10\,000 до 40\,000. Числа на карточках не повторяются. Всегда ли удастся написать на каждой карточке красным фломастером число от 5000 до 20\,000 (тоже без повторений) так, чтобы для любых двух карточек оказалось, что если черные числа на карточках имеют общий делитель, больший одного, то и красные тоже имеют общий делитель, больший одного, а если черные числа на карточках взаимно просты, то и красные тоже взаимно просты?
% тч средне-легкая

}

\newpage
\paper{ВТОРАЯ}{

\kern-2mm

\one
%комби трудная

\two 
% гео (с элементами комби), трудная

\three

\kern-3mm
\q4. Докажите, что существует не менее $600\,000$ чисел от 1 до $10^6$, представимых в виде 

\kern-4mm
$$
\gcd(a,b) \cdot \gcd(b,c) + \gcd(b,c) \cdot \gcd(c,a) + \gcd(c,a) \cdot \gcd(a,b),
$$
где $a$, $b$, $c$ --- три не обязательно различных натуральных числа.
% тч, средне-сложная

\q5.fiveprime В треугольнике $ABC$ точка $L$ --- основание биссектрисы угла $A$. Точка $D$ --- середина отрезка $AL$, а точка $E$ --- основание перпендикуляра, опущенного 
из точки~$D$ на сторону $AB$. Известно, что сторона $AC$ в три раза длиннее 
отрезка $AE$. Докажите, что треугольник $CLE$ --- равнобедренный. 
(Польша, сборы для юниоров, 2025)
% гео, средне-легкая

\six 
% алгебра, средне-сложная

\q7.seven Юра и Юля порознь написали в своих блокнотах несколько натуральных чисел и далее стали выписывать числа вместе: раз в минуту одновременно Юра записывает себе наименьшее натуральное число, которого ещё нет у Юли, а~Юля~--- наименьшее натуральное число, которого ещё нет у Юры. Докажите, что либо, начиная с некоторого момента, каждую минуту они будут записывать одинаковые числа, либо, начиная с некоторого момента, Юля будет записывать одно и то же число.
(Олимпиада им. Лютфи Заде (Азербайджан), 2021)
%комби, простая

\eight

}

\newpage
\paper{ТРЕТЬЯ}{

\q1. По прямой трассе в одном направлении бегут $n$ черепашек, каждая со своей постоянной скоростью. Как только одна черепашка обгоняет другую, обе черепашки от удивления удваивают скорость. Известно, что в любой момент скорости любых двух черепашек различны. Верно ли, что через некоторое время обгоны прекратятся?
(ОлЮМШ 2005, 9-10 классы)
%Из 6-го класса
% комби средняя

\q2. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ середина диагонали $BD$ лежит на диагонали $AC$. Кроме того, $AB=BC=BD$. Докажите, что $\angle ADC \leq 120^\circ$.
(Mathematical Reflections 3 (2024), J665) 


\three 
% сложная математика 

\q4. На доске написано 10 различных натуральных чисел, каждое из которых меньше 20000. Докажите, что среди них найдутся несколько, среднее арифметическое которых нецелое. 
(Норвегия, Олимпиада им. Абеля, финал, 2025)

\fiveprime 
% гео, простая

\six 
% сложная алгебра 

\seven
% простая математика

\eight
% средняя тч

}

\end{document}
