\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}                
\usepackage{amssymb, amsmath, graphicx}                        
\usepackage{amsmath}                        
\usepackage[utf8]{inputenc}       
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}           
\usepackage[russian]{babel}                 
\pagestyle{empty}                           
\hoffset=-1in %всю страницы влево
\voffset=-1in %всю страницу вверх
\headheight=0in %высота колонтитула
\headsep=0in %отступ от колонтитула
\textheight=277truemm	                 
\textwidth=190truemm          
\oddsidemargin=10mm %отступ от левого края
\topmargin=10mm %отступ от верхнего края
%\input ser.sty       
% \renewcommand{\baselinestretch}{0.95}    
\def\q#1. #2\par {\vskip .5mm\smallskip\noindent\phantom{1}{\bf#1.} #2\par}

\newcommand{\divby}{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
\newcommand{\ndivby}{\centernot\divby}
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
\newcommand{\overarc}[1]{\ooalign{\hfil\scalebox{0.9}{$#1$}\hfil\cr\hfil\raisebox{12pt}{\rotatebox{-90}{\scalebox{1}{$)$}}}\hfil\cr}}

\let\leq\leqslant
\let\geq\geqslant


\begin{document}

Проект

{\centerline{\small LXV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. ПОКРОВСКОЕ, 25--31.10.2025}}
\smallskip 
\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 26.10.2025}
\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА}

\q1. При каких натуральных $n$ из чисел $n$, $n+1$, \dots, $n^2$ можно 
выбрать четыре разных числа $a$, $b$, $c$, $d$ так, что $ab=cd$? 
% Чехия, 2004/05, категория C, школьный этап 
% тч, 41

\q2.  На доске написано число
23456789123456789123456789123456789.
Двое по очереди вычеркивают цифры. Проигрывает тот игрок, после хода которого
либо не осталось цифр, либо число, образованное оставшимися цифрами, делится на 3.
Кто из игроков может гарантировать себе победу (начинающий или второй игрок)?
% из 6го класса 
%Беларусь-2022, 3 этап, 11 класс.



\q3. На стороне $AB$ четырёхугольника $ABCD$, в котором $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 90^\circ$ и $\angle C = 135^\circ$, нашлась такая точка $E$, что $BC = AE$. Докажите, что треугольник $BDE$ --- равнобедренный.
%А. Кузнецов
% гео из 7го

\q4. Найдите наименьшее натуральное число $N$ такое, что в любой таблице $2 \times 2024$, заполненной числами $1,2, \ldots, 4048$, можно выбрать по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строчке было выбрано $1012$ чисел и сумма выбранных чисел была не меньше $N$.
%Финал Абельконкуррансен 2024, Норвежский MO
% комби 198

\q5. На доске написаны по одному разу все натуральные числа от 2 до 2025. Каждую 
минуту Вася выбирает на доске какие-нибудь два числа $x$ и $y$, стирает 
их, а вместо них пишет число $xy\over xy+(1-x)(1-y)$. Через 2023 минуты 
на доске останется одно число. Найдите все возможные значения этого числа. 
% Испания, местный этап, 2023 
% алг, 165

\q6. Дано натуральное число $k$. Пусть $n>k$. Мы рассматриваем граф $K_n$ и хотим ориентировать его ребра так, чтобы для любого набора $A$ из $k$ вершин этого графа нашлась бы вершина $v$, для которой все ребра $va$, $a\in A$, были бы ориентированы от $v$ к $a$. Наименьшее $n$, при котором такое возможно (то, что это возможно, не обсуждается), обозначим через $F(k)$. Докажите, что $F(k)\geq 2^{k+1}-1$.
%25вес-КК  Вопрос от Эрдеша. 
%On a Problem in Graph Theory
%P. Erdos The Mathematical Gazette, Vol. 47, No. 361 (Oct., 1963), pp. 220-223 (4 pages) 

\q7. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $P$, а на отрезке $PC$ --- точка $Q$. На отрезке $AP$ отмечена точка $R$, а на отрезке $DQ$ --- точка $S$, причем $BR$ параллельно $DQ$ и $AP$ параллельно $CS$. На стороне $AD$ выбрана точка $T$ так, что углы $ATR$ и $DTS$ равны. Докажите, что $PS + QR > RT+TS$.

\q8. 

\end{document}


Ещё вариант: последних трёх задач

\q6.

\q7. тч

\q8. По кругу стоят $n$ работников компании, которые хотят выбрать директора. Сначала каждый голосует за соседа справа. Затем происходит $n$ раундов переголосования. За один раунд все работники в некотором порядке меняют свои голоса: если сейчас меняет свой голос работник $A$ и текущей его голос за $B$, а сейчас $B$ голосует за $C$, то $A$ свой голос отдает за $C$. В каждом раунде может быть свой порядок голосования, но каждый голосует один раз. Докажите, что через $n$ раундов все единогласно будут голосовать за одного и того же человека.
% Канада, юниоры, 2025
% или 203

