\documentclass[a4paper,10pt]{extarticle}                
\usepackage{amssymb, amsmath, graphicx}                  
\usepackage{ifthen}
\usepackage{amsmath}                        
\usepackage[utf8]{inputenc}       
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}           
\usepackage[russian]{babel}                 
\pagestyle{empty}                           
\hoffset=-1in %всю страницы влево
\voffset=-1in %всю страницу вверх
\headheight=0in %высота колонтитула
\headsep=0in %отступ от колонтитула
\textheight=277truemm	                 
\textwidth=190truemm          
\oddsidemargin=10mm %отступ от левого края
\topmargin=10mm %отступ от верхнего края
% \renewcommand{\baselinestretch}{0.95}    
%\input ser.sty
\long\def\q#1.#2 #3\par {%
\expandafter\gdef\csname #2\endcsname{%
\smallskip\noindent\phantom{1}{\bf #1.} {#3}\par }
\csname #2\endcsname}
%\q8.eight условие \par 
%создает макрос \eight
%если ничего не написать, то и макроса не будет

\long\def\paper#1#2#3{\noindent\scalebox{1.42}{\parbox{0.7\hsize}{
{\scriptsize\centerline{LXV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. ПОКРОВСКОЕ, 25--31.10.2025}}{
\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №\tour. \date.10.2025}
\centerline{\bf СТАРШАЯ ГРУППА, #1}
\ifthenelse{\equal{#2}{}}{}{\centerline{\bf #2}}
} #3
}}}

\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}

\let\leq\leqslant
\let\geq\geqslant

\def\tour{4}
\def\date{31}

\begin{document}

\paper{ВЫСШАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 1-4 МЕСТА}{}{

\q1.one Дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть его высоты пересекаются в точке~$H$. Точки $X$ и $Y$ таковы, что $BX = BH$ и $CY = CH$. Оказалось, что точки $X$, $Y$ и $H$ лежат на одной прямой. Докажите, что $\angle XAY \leq 2\angle BAC$.
%гео 6

\q2. Найдите все натуральные $m$, для которых число 
$$
\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (C_n^k)^m
$$ 
целое для всех натуральных $n$.
% тч 2

\q3. В остроугольном треугольнике $ABC$, где $\angle B = 25^\circ$, проведены высоты $AA_1$ и~$CC_1$. Точка $K$~---середина отрезка $A_1C_1$. Точки $X$ и $Y$ отмечены на отрезках $KA_1$ и $KC_1$ соответственно, а точки $Z$ и $T$~--- на прямой $A_1C_1$ таковы, что $CX =  XC_1$, $AY = YA_1, AZ = ZC_1$, $CT = TA_1$. Отрезки $AX$ и $CZ$ пересекаются в точке $M$,  отрезки $AT$ и $CY$ пересекаются в точке $N$. Найдите угол $MKN$.
(А. Кузнецов) 

\q4. В множестве $M$ ровно 25 элементов. У него выбрали 150 различных подмножеств, в каждом из которых ровно 4 элемента. Верно ли, что всегда найдутся два выбранных подмножества, пересечение которых состоит ровно из двух элементов?
%конструктив, сложность -1-0

\q5.five Сумма неотрицательных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ равна 1. 
Для какого наибольшего количества упорядоченных пар $(i, j)$, 
$1 \leq i, j \leq 2025$, может выполняться неравенство $a_i^2 + a_j \geq \frac 1{2024}$?
(Турция, 2022) 
% алг 2

\q6.six В графе $G$ выбрали множество вершин $S$. Будем говорить, что $S$ --- \emph{множество общего положения}, если для любых двух вершин  $u,v\in S$ все кратчайшие пути из $u$ в $v$ не содержат вершин из множества $S$ (кроме самих этих $u$ и $v$). Пусть $\text{gp}(G)$ --- размер наибольшего множества общего положения в графе $G$, $x$ --- любая вершина графа $G$. Докажите, что $\text{gp}(G - x)\leq 2 \text{gp}(G)$.
(https://arxiv.org/pdf/2405.11918)
% Теорема 3.1.

\q7.seven Для каждого способа расположить внутри квадрата $1\times 1$ без наложений $n$ 
квадратов найдём сумму длин сторон этих квадратов (у каждого квадрата учитывают длину одной стороны). Среди всех таких сумм есть наибольшая, которую мы обозначим 
$f(n)$. Пусть $a$, $b$, $c$ --- натуральные числа, $a+b\leq c$. Докажите неравенство
$$ af(a^2+1)+bf(b^2+1)+c^2\leq a^2+b^2+cf(c^2+2).$$
(https://arxiv.org/pdf/2506.23284)
%Лемма на стр 1-2. Я взял n1=a_2^2+1, n2=a_1^2+1.
%cgeo 6

\q8.eight В возрастающей последовательности $a_1$, $a_2$, \dots \ целых чисел 
$a_{n+1}\leq a_n+3$ при всех натуральных $n$. Известно, что ни один член 
этой последовательности не равен сумме трёх других различных членов этой 
последовательности. Докажите, что существует остаток, которого при делении 
на 3 не даёт ни один член последовательности. 
(Панамериканская олимпиада для девушек, 2025) 

}

\newpage
\paper{ВЫСШАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 5-8 МЕСТА.}{ПЕРВАЯ ЛИГА. ВТОРАЯ ЛИГА, БОЙ ЗА 1-2 МЕСТА}{

\one

\q2.two  Сумма неотрицательных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ равна 1. 
Для какого наибольшего количества упорядоченных пар $(i, j)$, 
$1 \leq i, j \leq 2025$, может выполняться неравенство $a_i^2 + a_j \geq \frac 1{2024}$?
(Турция, 2022) 
% алг 2

\q3.three Точки $E$ и $F$ расположены на сторонах $AB$ и $BC$ квадрата $ABCD$ 
соответственно так, что $AE=BF$. Точка $G$ симметрична точке $F$ относительно 
середины стороны $AB$, а точка $H$ --- точке $E$ относительно середины стороны 
$BC$. Докажите, что треугольники $DEF$ и $BGH$ имеют одинаковую площадь. 
(Польша, сборы для юниоров, 2025)

\q4.four Равносторонний треугольник с длиной стороны 8 (далее \emph{большой треугольник}) делят на равносторонние треугольники с длиной стороны 1 (далее \emph{малые треугольники}). Таня и Остап играют в следующую игру с одной фишкой. В начале игры фишка расположена в одной вершине $O$ большого треугольника. За один ход можно сдвинуть фишку на 1 вдоль стороны какого-то малого треугольника, вдоль которой по ходу этой игры фишку ещё не передвигали. Ходят по очереди, начинает Таня. Выигрывает игрок, который передвинет фишку обратно в вершину~$O$. Есть ли у кого-то из игроков возможность выиграть вне зависимости от игры соперника, и если да, то у кого?
(67 эстонская олимпиада по математике, 10 класс)
% игра средняя

\q5.five Натуральные числа $x$ и $y$ удовлетворяют условиям 
$$
\bigl\{\sqrt{x^2+2y}\,\bigr\}>{\frac23} \quad\text{и}\quad \bigl\{\sqrt{y^2+2x}\,\bigr\}>{\frac23}.
$$
\kern-2mm
Докажите, что $x=y$.
(Польша, сборы для юниоров, 2025)

\six 

\seven 

\kern-2mm
\eight 

}

\newpage
\paper{ВТОРАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 3-8 МЕСТА}{}{

\q1.oneprime На сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=AC$) отмечены соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $AD=BC=CE$ и треугольник $ADE$ равнобедренный. Прямые $BC$ и $DE$ пересекаются в точке $X$. Найдите все возможные значения угла $\angle BXD$.

\two

\three

\four

\five

\q6.sixprime  Рассмотрим <<решетку>> --- объединение горизонтальных и вертикальных отрезков, которые делят доску $8\times 8$ на единичные квадратики (контур доски в это объединение не входит). Какое наибольшее количество отрезков длины $2{,}9$, не имеющих общих точек, можно  расположить на этой  решетке? 

\seven

\q8.eightprime  Существуют ли такие натуральные числа $n$ и $k$, 
что $\dfrac{n}{11^k-n}$ --- квадрат натурального числа? 
(Czech-Slovakia Math Olympiad, 4th Problem, Category A, Regional Round 2018)
% тч где-то может 7-8

}

\newpage
\paper{ТРЕТЬЯ ЛИГА}{}{

\oneprime

\q2.  Найдите все целые $a$ и $b$, для которых число $2ab$ делится на $a^2+2b^2+2a+1$. 

\three

\four

\five

\sixprime

\q7.  В каждой клетке доски $8 \times 8$ стоит либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый человек сказал: <<В моей строке такое же количество лжецов, что и в моем столбце>>. Какое наименьшее количество рыцарей может быть на доске?
(Аргентина, 2012)

\eightprime
}


\end{document}
