\documentclass[a4paper,10pt]{extarticle}                
\usepackage{amssymb, amsmath, graphicx}                        
\usepackage{amsmath}                        
\usepackage[utf8]{inputenc}       
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}           
\usepackage[russian]{babel}                 
\pagestyle{empty}                           
\hoffset=-1in %всю страницы влево
\voffset=-1in %всю страницу вверх
\headheight=0in %высота колонтитула
\headsep=0in %отступ от колонтитула
\textheight=277truemm	                 
\textwidth=190truemm          
\oddsidemargin=10mm %отступ от левого края
\topmargin=10mm %отступ от верхнего края
% \renewcommand{\baselinestretch}{0.95}    
%\input ser.sty
\long\def\q#1.#2 #3\par {%
\expandafter\gdef\csname #2\endcsname{%
\smallskip\noindent\phantom{1}{\bf #1.} {#3}\par }
\csname #2\endcsname}
%\q8.eight условие \par 
%создает макрос \eight
%если ничего не написать, то и макроса не будет

\long\def\paper#1#2{\noindent\scalebox{1.42}{\parbox{0.7\hsize}{
{\scriptsize\centerline{LXV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. ПОКРОВСКОЕ, 25--31.10.2025}}{
\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №\tour. \date.10.2025}
\centerline{\bf СТАРШАЯ ГРУППА, #1 ЛИГА}
\medskip} #2
}}}

\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}

\let\leq\leqslant
\let\geq\geqslant

\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}
\def\tour{2}
\def\date{28}

\begin{document}


\paper{ВЫСШАЯ}{

\q1. Некоторые натуральные числа от 1 до 2025 покрашены в красный цвет. Саша хочет придумать такую последовательность натуральных чисел $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$, что для каждого $1 \leq i \leq 2025$ выполняется два условия:

(i) $a_{i}$ равно произведению всех натуральных делителей числа $a_{i-1}$,

(ii) $a_i$ является точным квадратом тогда и только тогда, когда $i$~--- красное. 

Всегда ли Саша сможет это сделать?
(imc-2017)
% тч 0-1

\q2.two В связном графе на 100 вершинах степени всех вершин не меньше некоторого натурального $k$. При каком наименьшем $k$ можно гарантированно удалить из этого графа несколько рёбер так, чтобы оставшийся граф был связным, не имел циклов и степени всех его вершин были нечётными?
(https://arxiv.org/pdf/2503.17676) 
% Теорема 2.6.
% граф, 3

\q3.three Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. Прямая $AP$ пересекает $BC$ в~точке $Q$. Прямая $PC$
пересекает $AB$ 
в точке $R$. На стороне $AC$ отмечена точка~$X$, а~на её продолжении за точку $A$~--- точка $Y$, причем $\angle BYP = 90^\circ = \angle RXQ$. Отрезки $PY$ и $RX$ пересекаются в точке $T$, а отрезки $BP$ и $QR$ пересекаются в~точке $S$. Докажите, что $ST$~--- биссектриса угла $XSY$.
(А. Кузнецов)

\q4.four {Найдите все натуральные $n\geq 2$, для которых существуют ненулевые вещественные числа $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$ и $y$, удовлетворяющие при всех натуральных $k<n$ условию 

\kern-14pt
$$(x_1+\ldots+x_k)(x_{k+1}+\ldots+x_n)=y.$$ }
(Польша, 2024/25, 2 тур) 
% алгебра 8

\q5.five Дан остроугольный разносторонний треугольник $ABC$. Биссектриса угла $\angle BAC$ и серединные перпендикуляры к сторонам $AB$, $AC$ ограничивают некоторый треугольник. Докажите, что ортоцентр этого треугольника лежит на медиане треугольника $ABC$, проведённой из вершины $A$.
(Polish-Slovask MO, 2023)
% гео 8

\q6.  Даны простое число $p$ и не кратные ему целые числа $a,b,c$. Докажите, что существуют целые числа $x_1, x_2, x_3, x_4$ такие, что $|x_1|,|x_2|,|x_3|,|x_4|<\sqrt{p}$, и $$ax_1x_2+bx_3x_4\equiv c\pmod p.$$
(Олимпиада Западного Китая, 2024)
% тч 1-2

\vspace{-4pt}

\q7.seven Клетчатый многоугольник целиком содержит квадрат $2025\times 2025$. Его разрезали по линиям сетки на два связных (по сторонам) куска. При каком наибольшем $n$ из одного из этих кусков заведомо удастся вырезать по линиям сетки прямоугольник $1\times n$?
(М. Дидин)
% комби 5-6

\q8.eight Серёжа и Саша играют в игру. Серёжа загадывает $n$ не обязательно различных натуральных чисел $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$ и сообщает Саше $n$ и сумму $x_1+x_2+\ldots+x_n$. За один ход Саша придумывает собственное подмножество $A \subset \{1,2,\ldots, n\}$, а Серёжа в~ответ должен дать другое подмножество $B \subset \{1,2,\ldots,n\}$ такое, что 
$$
\smash{\sum\limits_{i\in A} x_i = \sum\limits_{j \in B} x_j}.
$$
Если Серёжа не может подобрать такое подмножество, то Саша победил. Если Саша после нескольких вопросов сможет отгадать $x_1, x_2, \ldots, x_n$, то он тоже победил. Докажите, что Саша сможет победить.
(International Mathematics Summer Camp 2024) 
% математика-6

}

\newpage
\paper{ПЕРВАЯ}{

\q1.one  Какое из чисел больше: 
$$
\dfrac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2024}}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots-\frac{1}{2024}} 
\quad\text{или}\quad 
\dfrac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}} \ ?
$$ 
В знаменателях дробей знаки слагаемых чередуются.
(М.Дидин, апргейд из 7го)

\two
% комби 1-2

\three 
% гео 1

\four 
% алг 6

\five 
% гео 6

\q6.six Назовём пару натуральных чисел $(a,b)$ {\it квадратной}, если число $ab+1$ --- точный квадрат. При каких натуральных $n$ все числа 1, 2, \dots, $2n$ можно разбить на квадратные пары? 
(Польша, юниорские сборы, 2025) 
% тч 6-7

\seven 
% комби 3

\eight 
%математика, 3-4

}

\newpage
\paper{ВТОРАЯ}{

\one
%комбитч 6

\q2.twoprime На встречу пришли $n$ человек ($n\geq 3$), среди которых есть хотя бы одна пара знакомых друг с другом и хотя бы одна пара незнакомых друг с другом. Оказалось, что, как бы ни разделить этих людей на два непустых множества, найдутся два знакомых друг с другом человека из разных множеств. Докажите, что можно найти трёх участников встречи $A$, $B$ и $C$ таких, что $A$ знаком с $B$, $B$ знаком с $C$, но $C$ не знаком с $A$.
(Польша, сборы для юниоров, 2025)
%комби 8

\q3.threeprime В равностороннем треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ и на продолжении стороны $AC$ за точку $A$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $BM=AN$ и~$\angle{CMN}=90^{\circ}$. Найдите $\angle{MCA}$.
(М. Першаков)
% гео 8

\four
% Алгебра, 5

\five 
% гео, 3-4

\six
% тч 4-5

\seven 
% клетчатый пример, 1-2

\eight
% математика, 1-2

}

\newpage
\paper{ТРЕТЬЯ}{

\one 

\twoprime

\threeprime

\four 

\five 

\six

\q7. Клетчатый многоугольник целиком содержит квадрат $2025\times 2025$. Его разрезали по линиям сетки на два связных куска. Могло ли так оказаться, что из каждого из этих кусков нельзя вырезать прямоугольник $1\times 6$?
(М. Дидин)

\q8.  Саша записывает в каждую клетку таблицы $2025 \times 2025$ натуральное число, не превосходящее 2025, таким образом, что в каждом столбце и в каждой строке все числа разные. В верхней левой клетке таблицы находится фишка. Саша может сдвигать фишку в соседнюю по стороне клетку, если число в ней отличается на 1 от числа в текущей клетке. Может ли Саша заполнить таблицу таким образом, чтобы фишку можно было переместить в любую клетку несколькими такими сдвигами?
(2025 ELMO Shortlist C6)
% из 7го

}

\end{document}
