\documentclass[a4paper,10pt]{extarticle}                
\usepackage{amssymb, amsmath, graphicx}                        
\usepackage{amsmath}                        
\usepackage[utf8]{inputenc}       
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}           
\usepackage[russian]{babel}                 
\pagestyle{empty}                           
\hoffset=-1in %всю страницы влево
\voffset=-1in %всю страницу вверх
\headheight=0in %высота колонтитула
\headsep=0in %отступ от колонтитула
\textheight=277truemm	                 
\textwidth=190truemm          
\oddsidemargin=10mm %отступ от левого края
\topmargin=10mm %отступ от верхнего края
% \renewcommand{\baselinestretch}{0.95}    
%\input ser.sty
\long\def\q#1.#2 #3\par {%
\expandafter\gdef\csname #2\endcsname{%
\smallskip\noindent\phantom{1}{\bf #1.} {#3}\par }
\csname #2\endcsname}
%\q8.eight условие \par 
%создает макрос \eight
%если ничего не написать, то и макроса не будет

\long\def\paper#1#2{\noindent\scalebox{1.42}{\parbox{0.7\hsize}{
{\scriptsize\centerline{LXV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. ПОКРОВСКОЕ, 25--31.10.2025}}{
\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №\tour. \date.10.2025}
\centerline{\bf СТАРШАЯ ГРУППА, #1 ЛИГА}
\medskip} #2
}}}

\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}

\let\leq\leqslant
\let\geq\geqslant

\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}
\def\tour{1}
\def\date{27}

\begin{document}


\paper{ВЫСШАЯ}{

\q1.one Верно ли, что при каждом натуральном $n$ найдутся такие попарно различные натуральные числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, что для каждого $m$, $3 \leq m \leq n$, существует натуральное число $i\leq m-2$, для которого выполняется равенство 
$$
a_m = a_{\gcd(m-1, i)} + \gcd(a_{m-1}, a_i) ?
$$
(2025 Alborz Mathematical Olympiad (Иран))
% ТЧ 3-4?

\q2. Дана клетчатая доска $2025\times 2025$, в её центре стоит ферзь, а в одном из углов король. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. Петя ходит королём, Вася~--- ферзём. Запрещается ходить на клетку, занятую фигурой противника. Все клетки, на которых побывал король, блокируются, и на них больше никому нельзя ходить (ферзь умеет перепрыгивать через заблокированные клетки, а также через короля). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
(М. Дидин)

\q3. Биссектрисы $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Докажите, что если $AL = CI$ и $AI = CK$,  то $AC = BK$.
(из 7го)
% гео, сложность 2?

\q4.four Последовательность $(a_n)$ задана условиями $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ и  при $k \geq 1$
$$
a_{2k+1} = 2 + 2a_k, \qquad a_{2k+2} = 2 + a_k + a_{k+1}.
$$
Найдите все натуральные $n$, для которых $a_n$ делится на $n$. 
(Индия, 2025)  
% АТЧ 6

\q5.five Даны вещественные числа $0\leq x,y,z\leq 2$. Докажите, что $$(2x-yz)(2y-zx)(2z-xy)\leq 1.$$
(2025 Azerbaijan Junior NMO3)
% алгебра 1-2?

\q6.six При каких натуральных $n\geq 3$ верно следующее утверждение: в любом 
$n$-уголь\-ни\-ке существуют три вершины, разбивающие его периметр на три части, 
длины которых являются длинами сторон некоторого треугольника? 
(Ф.Юдин, Украина, 2021, IV этап)
% математика 8

\q7.seven В школе учатся несколько человек, некоторые из которых дружат друг с другом. Каждый ученик пронумеровал своих друзей числами от 0 до $n-1$, где $n$~--- количество его друзей. Изначально у каждого ученика есть по яблоку. В нулевой день каждый ученик передал своё яблоко своему другу с номером $0$, и у всех снова оказалось по яблоку. В первый день каждый передал своё яблоко своему другу номер 1, и у всех снова оказалось по яблоку. И так далее: в день номер $d$ человек, у которого $n$ друзей, передает свое яблоко другу с номером, равным остатку $d$ при делении на $n$. В один прекрасный день оказалось, что в этот день каждый ученик снова собирается отдать яблоко своему другу с номером $0$. Докажите, что если два человека дружат, то у них поровну друзей.
(USA TSTST 2025/1)
% граф 6

\q8.eight Точка $P$ расположена внутри разностороннего треугольника $ABC$ так, что  $\angle PBA=\angle PCA$. Прямая $PB$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $Q$; прямая $PC$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $A$ в точке $R$. Точка $S$ такова, что $CS \parallel AQ$ и $BS \parallel AR$. Докажите, что точки $Q$, $R$ и $S$ лежат на одной  прямой. 
(Испания, 2024, финал) 
% гео 7-8

}

\newpage
\paper{ПЕРВАЯ}{

\one 

\q2.two Дана клетчатая доска $2025\times 2025$. В центре стоит король, в одном из углов~--- ферзь. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. Петя ходит королём, Вася~--- ферзём. Запрещается ходить на клетку, занятую фигурой противника. Все клетки, на которых побывал король, блокируются, и на них больше никому нельзя ходить (ферзь умеет перепрыгивать через заблокированные клетки, а также через короля). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
(М. Дидин)
% комби, скорее сложная

\q3.three Точка $D$ --- середина катета $BC$ равнобедренного прямоугольного 
треугольника $ABC$. Точка $E$ на гипотенузе $AB$ такова, что $AD\perp CE$. 
Докажите, что $\angle ADC\hm{=}\angle EDB$.
%геометрия, средне-сложная

\four

\five 

\six 

\seven

\eight


}

\newpage
\paper{ВТОРАЯ}{

\q1.oneprime Найдите все натуральные $n>1$ такие, что для любого простого делителя 
$p$ числа $n$ сумма $n+p$ является точным квадратом. 
%атч средняя

\two

\three

\four
% атч, сложная 

\q5.fiveprime Даны вещественные числа $0\leq x,y,z\leq 2$. Докажите, что $$-64 \leq (2x-yz)(2y-zx)(2z-xy).$$
% неравенство, простая

\six
% комби средняя-простая

\q7.sevenprime В графе $33\cdot 32$ вершины, они помечены всевозможными двухбуквенными комбинациями, т.\,е. \emph{упорядоченными} парами, состоящими из двух разных букв русского алфавита. Известно, что если метка вершины содержит букву~$A$, то эта вершина соединена ребром со всеми вершинами, метки которых получается заменой буквы $A$ на любую из 31 других букв. Других ребер в графе нет. Некоторые метки покрашены в красный цвет, а остальные в черный, причем каждая черная метка соединена ребром хотя бы с одной красной. Какое наименьшее число красных меток может быть? 
%Определите размер минимального доминирующего множества в таком графе.
(https://arxiv.org/pdf/2509.16448)
% Теорема 3.1
% Комби средне-сложная

\q8.eightprime Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$. Точка $P$ расположена 
внутри трапеции так, что $AB=BP$, $DC=CP$ и $\angle BPC=90^\circ$. Найдите угол $APD$. 
(Польша, олимпиада для юниоров, 2025, 1 этап) 
% гео простая

}

\newpage
\paper{ТРЕТЬЯ}{

\oneprime 

\two

\three 

\q4. Последовательность $(a_n)$ задана условиями $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ и  при $k \geq 1$
$$
a_{2k+1} = 2 + 2a_k, \qquad a_{2k+2} = 2 + a_k + a_{k+1}.
$$
Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, для которых $a_n$ делится на $n$. 
(Индия, 2025)  
% АТЧ 6

\fiveprime

\q6. Верно ли, что в любом четырёхугольнике, никакие две стороны которого не параллельны, существуют три вершины, разбивающие его периметр на три части, длины которых являются длинами сторон некоторого треугольника?

\sevenprime

\eightprime

}
\end{document}