\documentclass[a4paper,12pt]{article}                
\usepackage{amssymb, amsmath, graphicx, wrapfig}                        
\usepackage{amsmath}                        
\usepackage[utf8]{inputenc}               
\usepackage[russian]{babel}                 
\pagestyle{empty}          
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.1ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
\usepackage[a4paper, top=0.8cm,bottom=0.6cm,left=0.8cm,right=0.8cm,
marginparwidth=1.75cm]{geometry}               
\renewcommand{\baselinestretch}{0.93}    

\input urtur.sty
%\input CELLS.STY

% ДЛЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИЙ ВЫСТАВИТЬ ВТОРОЙ АРГУМЕНТ НА 0
% ДЛЯ НАЛИЧИЯ -- НА 1
\setcounter{ifsol}{1}

%%ДЛЯ УКАЗАНИЯ ИЛИ СКРЫТИЯ ИСТОЧНИКОВ/АВТОРОВ ЗАДАЧ
\setcounter{ifSource}{1}

\def\data{31.10.2025}
\newcounter{TurNumber}
\setcounter{TurNumber}{4}


\begin{document}

\ifnum\value{ifsol}=1 \large \fi


\MathBattleHeadFinal{\data}{ВЫСШАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 1\,--\,4 МЕСТА}{высшая лига, бои за 1\,--\,4 места}


\def\concap{
\ifnum\value{ifsol}=1
{\noindent\textbf{Конкурс капитанов.} Найдите наибольшее натуральное число, у которого все цифры различны и одна из цифр равна сумме остальных. 
\ans{96210}
}
\fi
}

\concap 

\q1.one  Из квадрата $100\times 100$ вырезали какие-то 100 клеточек. Докажите, что полученную фигуру всегда можно разрезать на 200 прямоугольников.

{\source{олЮМШ 2006, 7 класс}

\sol{ Сделаем разрезы по всем горизонтальным прямым, прямоугольник распадется на полоски вида $1\times k$. Если в строке было $x$ вырезанных клеток, то из неё получилось не более $x+1$ прямоугольника. Суммируя по всем строкам, получим, что всего прямоугольников не более $100+100 =200$. Чтобы получить ровно 200, можно ещё разрезать прямоугольники на части.}
} 


\q2. В турнире по бадминтону участвуют 99 игроков. Перед началом турнира был сформирован рейтинг игроков (у всех игроков рейтинг разный). Во время турнира каждый игрок играет по одной игре с каждым другим игроком, ничьих не бывает. Назовем игру \emph{удивительной}, если в ней выиграл игрок с более низким рейтингом, чем соперник. После окончания турнира игроки упорядочиваются по количеству побед, начиная с игрока, который выиграл больше всего игр. В случае, если несколько игроков имеют одинаковое количество побед, они упорядочиваются между собой по рейтингу, начиная с игрока с более высоким рейтингом. Оказалось, что порядок игроков в таблице, полученной после турнира, совпал с порядком в рейтинге, сформированном до турнира (то есть на первом месте в таблице человек с самым высоким рейтингом, на втором~--- вторым по величине рейтингом и т.д). Какое наибольшее количество удивительных игр могло произойти на турнире?


{\source{2023 Latvia BW TST. }

\ans{$3626$ удивительных игр.} \sol{ Пример: пусть игроки встанут по
кругу в порядке возрастания рейтинга по часовой стрелке
и каждый выиграет у следующих 49 по часовой стрелке.  Тогда первые
50 игроков выиграют по 49 удивительных игр, а каждый следующий на 1
меньше, чем предыдущий. Итого суммарно будет $50\cdot 49+49\cdot
48/2=3626$ удивительных побед. Докажем, что больше быть не может. Не
умаляя общности можно считать, что 50-ый по рейтингу игрок одержал
не более 49 побед (иначе аналогичное рассуждение проведём с
поражениями). Тогда первые 49 по рейтингу игроков суммарно одержали
не более $49\cdot 48/2$ удивительных побед, а каждый из остальных
вообще одержал не более 49 побед, итого не более $50\cdot 49+49\cdot
48/2=3626$ удивительных побед.

\r Только оценка или только пример: 4 балла.
}
} 


\q3.three  В множестве $M$ ровно 25 элементов. У него выбрали 50 различных подмножеств, в каждом из которых ровно 4 элемента. Верно ли, что всегда найдутся два выбранных подмножества, пересечение которых состоит ровно из двух элементов?
%конструк

{\source{Фольклор}

\ans{Не верно.}

\sol{Разместим наши элементы в клетки квадрата $5\times 5$. Пронумеруем строки с столбцы остатками по модулю 5. Для каждой строки выберем все возможные четверки клеток в этой строке, и для каждого столбца все возможные четверки клеток в этом столбце. Если четверки лежат в разных линиях, то они пересекаются не более чем по одному элементы, а если в одной и той же, то хотя бы по трем. 
} 
}

\q4. Арсений взял некоторое 2025-значное число без нулевых цифр, а затем между какими-то двумя его соседними цифрами написал знак <<+>>, после чего вычислил полученную сумму. Он проделал это для каждой из 2024 постановок одного знака <<+>>. Какое наименьшее число различных сумм у него могло получиться?
%А. Осипов

{\source{А. Осипов.}

\ans{1012.} \sol{{\it Оценка.} Предположим, что есть не более 1011 различных сумм. Тогда какое-то значение принимается хотя бы 3 раза. Пронумеруем позиции между цифрами слева направо числами 1, 2, \ldots, 2024. Тогда среди трех наших сумм две получены постановкой знака <<$+$>> либо в позиции 1, 2, \ldots, 1012, либо в позиции 1013, 1014, \ldots, 2024. Пусть, например, в первой половине позиций. То есть наше число разбито на три части $\overline{abc}$, где в $c$ хотя бы 1013 цифр, а в $a$ и в $b$ в сумме не больше 1012 цифр. Имеем $a+\overline{bc} = \overline{ab}+c$, откуда $\overline{ab}-a = \overline{b0\ldots 0} \geq b\cdot 10^{1012}$. Но число $\overline{ab}-a$ не более чем 1012-значное --- противоречие.\\
{\it Пример.} Достаточно взять число из 2025 единиц. Легко видеть, что будет ровно 1012 различных сумм.

\r Только пример: 2 балла, только оценка: 6 баллов.
} 
}


\q5. Найдите все пары натуральных чисел $(n, m)$, удовлетворяющие трём условиям:
\\
$\bullet$ у числа $n$  четное число натуральных делителей;\\
$\bullet$ если $1 = d_1 < d_2 < \dots < d_{2k} = n$~--- все натуральные делители числа $n$, то все натуральные делители числа $m$~--- это $1$, $d_1 + d_2$, $d_3 + d_4$, $d_5 + d_6$, \ldots, $d_{2k-1} + d_{2k} $;\\
$\bullet$ число $n$ не делится на 9.

{\source{Cono Sur 2025, упрощение}

\ans{$(2,3)$ и $(6,9)$.} \sol{Заметим, что $d_2$ и $1+d_2$~--- просты числа, так как это наименьшие делители $n$ и $m$, отличные от 1. Следовательно, $d_2 = 2$. Далее $m=d_{2k-1}+d_{2k} = n/2+n=3n/2$. И так как $m$ не делится на 2, то $n$ не делится на 4. Если $n=2$, то $m=3$, этот вариант подходит. Пусть $n>2$, тогда рассмотрим $d_3$~--- это тоже простое число, следовательно, $m$ на него делится. Тогда $d_3 = 3$, так как все остальные делители $m$ больше $d_3$. Далее $d_4 = 5$ или $6$. Если $d_4 = 5$, то $m$ делится на $d_3+d_4=8$~--- противоречие. Следовательно, $d_4=6$, $d_3+d_4=9$. Если у $n$ больше нет делителей, то $n=6$, $m=9$, что подходит. Если $d_5$ существует, то $d_5$~--- тоже простое число, так как $n$ не делится на $4$ и $9$. Следовательно, $d_5$ является делителем $m$, но $1$, $3$, $9$ не делятся на $d_5$, а остальные делители $m$ больше $d_5$.

\r Только ответы: 0 баллов.

\r Доказано, что $m=3n/2$: 2 балла.
}
} 

\q6. Пусть $p_1$, $p_2$, \ldots, $p_{100}$~--- различные простые числа. Пусть $N=p_1p_2\dots p_{100}$. Докажите, что существует не более чем $3^{100}$ пар $(a,b)$ натуральных делителей числа $N$, для которых $a+b$ является квадратом натурального числа. (Пары $(a,b)$ и $(b,a)$ при $a\ne b$~--- это разные пары.)

{\source{Mathematical Minds 2025}

\sol{Будем называть пары, удовлетворяющие условию задачи, {\it хорошими}. Каждой хорошей паре $(a,b)$ сопоставим пару взаимно простых чисел $(a/(a,b), b/(a,b))$. Докажем, что все сопоставленные пары различны. Предположим, что есть две хорошие пары вида $(nx,ny)$, $(mx,my)$, где $x$ и $y$ взаимно просты. Тогда $n(x+y)$ и $m(x+y)$~--- точные квадраты, что означает, что любое простое входит в $n$ и $m$ в степенях одинаковой четности. Но так как $n$ и $m$ не могут делиться на квадраты простых, то просто $n=m$. Противоречие.

Итого, хороших пар не больше, чем пар взаимно простых делителей $N$. А таких пар $3^n$, так как для каждого простого есть 3 варианта: войти в первое число пары, войти во второе или не войти ни в одно из них.
 }
} 



\q7.seven На туристическом слете каждая из 32 команд получила по одинаковому бревну. Каждый час каждая команда отпиливает от остатка своего бревна или половину, или четверть, или две трети  этого остатка и подбрасывает отпиленную часть в костер. Докажите, что через 15 часов у каких-то двух команд останутся куски одинакового размера.
%

{\source{ОлЮМШ, 2005}

\sol{Каждый час длина бревна умножается на $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ или $\frac{1}{3}$. Заметим, что неважно, в каком порядке записаны сомножители, а также умножить на $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{3}$~--- это то же самое, что два раза умножить на $\frac{1}{2}$. Поэтому будем считать, что у каждой команды сомножителей одного из видов $\frac{3}{4}$ или $\frac{1}{3}$ не было. Тогда посчитаем, сколько может различных произведений: $1/2$ может входить в произведение от 0 до 15 раз. И если она входит от 0 до 14 раз, то у нас есть 2 способа выбрать оставшиеся сомножители (либо все $1/3$, либо все $3/4$). Значит, всего есть не более 31 различного результата, и следовательно, у каких-то двух команд результаты совпадут.
}
} 


\q8.eight Все натуральные числа от $1$ до $2025$ записаны на доске в ряд в некотором порядке (каждое число записано ровно один раз). За одну операцию Боря делает следующее: если последнее число в ряду равно $k$, он стирает последние $k$ чисел, затем записывает те же числа в обратном порядке в конец ряда. Например, из ряда $(..., 4, 10, 5, 3)$ получится ряд $(..., 4, 3, 5, 10)$. Докажите, что рано или поздно последнее число в ряду будет равно~$1$.

{\source{2025 Lithuania BW TST p3 - known in the past as Grand Duchy of Lithuania}

\sol{ Каждому ряду сопоставим 2025-значное число из нулей и единиц, возможно, с ведущими нулями: под $i$-ым членом ряда запишем 1, если он равен $i$, и 0, если не равен~$i$ (нумерация справа налево). Нетрудно проверить, что при каждой операции число, сопоставленное, ряду увеличивается. Следовательно, операции не могут продолжаться бесконечно долго.
}
} 







\newpage

\MathBattleHeadFinal{\data}{ВЫСШАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 5\,--\,8 МЕСТА,\\ ПЕРВАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 1\,--\,6 МЕСТА}{высшая лига, бои за 5\,--\,8 места, первая лига, бои за 1\,--\,6 места}
\concap 


\ifnum\value{ifsol}=0
{\vspace{-0,4cm}
}
\fi
\one


\q2. В турнире по бадминтону участвует 101 игрок. Перед началом турнира был сформирован рейтинг игроков (у всех игроков рейтинг разный). Во время турнира каждый игрок играет по одной игре с каждым другим игроком, ничьих не бывает. Назовем игру \emph{удивительной}, если в ней выиграл игрок с более низким рейтингом, чем соперник. После окончания турнира игроки упорядочиваются по количеству побед, начиная с игрока, который выиграл больше всего игр. В случае, если несколько игроков имеют одинаковое количество побед, они упорядочиваются между собой по рейтингу, начиная с игрока с более высоким рейтингом. Оказалось, что порядок игроков в таблице, полученной после турнира, совпал с порядком в рейтинге, сформированном до турнира, а 41-й по рейтингу игрок выиграл столько же партий, сколько проиграл. Докажите, что в турнире было не более 3830 удивительных игр.

{\source{2023 Latvia BW TST, даунгрейд}

\sol{Первые 40 по рейтингу игроков суммарно одержали не более $40\cdot 39/2$ удивительных побед, а каждый из остальных
вообще одержал не более 50 побед, итого не более $50\cdot 61+40\cdot 39/2=3830$ удивительных побед. }
} 



\q3. В ряд висит несколько воздушных шариков, при этом каждый шарик (кроме самого левого) больше своего левого соседа. На каждом шарике написана буква так, что складывается надпись <<АБВГДЕЖЗИКЛМНО>>. Все шарики раздули --- первый в $k_1$ раз, второй --- в $k_2$ раз, \ldots, последний --- в $k_{14}$ раз, после чего шарики снова перевесили в порядке возрастания (все размеры шариков различны). После этого сложилась надпись <<ВАЖБГМЕЛДКИОЗН>> Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди $k_1$, $k_2$, \ldots, $k_{14}$?

{\source{ОлЮМШ, 2006}

\ans{5.} \sol{Есть фрагмент ЗИКЛМ --- после раздувания эти шарики идут в обратном порядке, а значит, нужно как минимум пять коэффициентов раздутия.

Приведём теперь пример, когда шарики раздували в 1, 2, 3, 4 или 5 раз (раздуть в 1 раз --- то же,
что не трогать). В начале А=1, Б=2, В=3, Г=4, Д=5, Е=6, Ж=7, З=8, И=9, К=10, Л=11, М=13, Н=15,
О=19. В конце В=3, А=4, Ж=7, Б=8, Г=12, М=13, Е=18, Л=22, Д=25, К=30, И=36, О=38, З=40,
Н=45.

\r Только оценка или только пример --- 4 балла
}
} 



\q4.four Три года назад возраст Антона был простым числом, и через год тоже будет простым числом. Возраст Бориса сейчас --- произведение возрастов Антона сейчас и Антона через год. Год назад возраст Бориса был простым числом, и через год он тоже будет простым. Сколько лет Антону, и сколько Борису?

{\source{А. А. Солынин}

\ans{Антону 6, Борису 42.} \sol{Возраст Бориса, очевидно, делится на 3 (иначе его возраст через год или год назад бы делился на три и не был равен трём). Значит, возраст Антона либо делится на 3 (тогда это 6, т.к. три года назад он был простым числом), либо возраст Антона через год будет делиться на три (тогда Антону будет три, а сейчас два года, и три года назад говорить про его возраст было невозможно). Итак, Антону шесть лет, а тогда Борису 42. Этот вариант подходит.}
} 


\q5. Саша и Илья по очереди заменяют буквы в слове <<СМИРНОВ>> на цифры (разным буквам должны соответствовать разные цифры). Начинает (и заканчивает) Саша. Цель Саши --- получить число, кратное 3, цель Ильи --- помешать Саше. Кто из них сможет добиться своей цели?

{\source{ОлЮМШ, 2004}

\ans{Выиграет Илья.} \sol{Разделим цифры на три группы, соответствующие остатку при делении на 3 (т.е. в первой группе
будут цифры 1, 4 и 7, во второй --- 2, 5 и 8, в третьей --- 3, 6, 9 и 0). В конце игры семь цифр используются для замен, а ещё три цифры останутся. Ясно, что если три оставшиеся цифры будут все из одной группы или все из разных групп, то Саша выиграет (потому что тогда сумма оставшихся цифр будет делиться на 3, а значит, и сумма использованных цифр тоже будет делиться на 3). Илье таким образом необходимо добиться, чтобы одна из оставшихся цифр была в одной группе, а ещё две в другой.

Перед первым ходом Саши группы имеют численность 3, 3, 4. Первой парой ходов Илья всегда может добиться численности групп 2, 3, 3: если Саша ходит в группу из 4 цифр, то Илья --- в группу из 3 цифр, и наоборот. После второй пары ходов Илья сможет добиться численности групп 0, 3, 3 или 2, 2, 2. В
первом случае (0, 3, 3) Саша возьмёт цифру из какой-то группы, а Илья --- из другой непустой группы (и тогда Саша любым своим ходом проиграет). Во втором же случае (2, 2, 2) Илья возьмёт цифру из той же группы, из которой брал Саша, и Саша тоже проиграет.

}
} 

\q6. На гранях куба написаны числа от 1 до 6. На каждом ребре пишется сумма чисел на гранях, сходящихся в данном ребре.
В каждой вершине кубика записывают сумму чисел на гранях, сходящихся в данной вершине. Таким образом, в вершинах образовалось ещё 8 чисел. Какое наименьшее количество чисел в вершинах обязательно будет различными?
%ОлЮМШ, 2005

{\source{ОлЮМШ, 2005}

\ans{4} \sol{Оценка (симплекс метод). Найдём сперва максимальное из чисел на вершинах. Пусть число на верхней грани больше, чем на нижней; на передней больше, чем на задней; на левой больше чем на правой (это не умаляет общности). Тогда максимальное из чисел на вершинах будет в верхней передней левой вершине. Более того, если мы перемещаемся из любой верхней (передней, левой соответственно) вершины по ребру вниз (назад, вправо соответственно), в смежную вершину, то число в вершине, в которую мы попадаем, оказывается меньше предыдущего. Итак, от вершины с максимальным числом мы можем сделать три шага (вниз, назад, вправо), с каждым шагом попадая в вершину с меньшим числом. Следовательно, в вершинах не менее четырёх различных чисел.

Пример четырёх различных чисел: на боковых гранях соответственно 1, 4, 5, 6, на верхней --- 6, на нижней --- 5. На вершинах снизу --- 9, 10, 11, 10, сверху --- 10, 11, 12, 11.

\r Только оценка или только пример --- 4 балла
}
} 

\seven


\eight




\newpage

\MathBattleHead{\arabic{TurNumber}}{\data}{ПЕРВАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 7\,--\,8 места, ВТОРАЯ}{вторая}

\concap 

\q1.  Из шахматной доски вырезали какие-то две клетки разного цвета. Докажите, что полученную фигуру всегда можно разрезать на доминошки (прямоугольники $1\times 2$).

{\source{фольклор}

\ans{Ответ.} \sol{Рассмотрим разбиение доски на 16 квадратов $2\times 2$ и последовательность таких квадратов, соединяющую два квадрата, из которых вырезаны клетки. Объединение квадратов этой последовательности однозначно разрезается на доминошки. Остальные квадраты каждый разрезается на 2 доминошки.}
} 


\q2. В турнире по бадминтону участвуют 9 игроков. Перед началом турнира был сформирован рейтинг игроков (у всех игроков рейтинг разный). Во время турнира каждый игрок играет по одной игре с каждым другим игроком, ничьих не бывает. Назовем игру \emph{удивительной}, если в ней выиграл игрок с более низким рейтингом, чем соперник. После окончания турнира игроки ранжируются по количеству побед, начиная с игрока, который выиграл больше всего игр. В случае, если несколько игроков имеют одинаковое количество побед, они ранжируются между собой по рейтингу болельщиков, начиная с игрока с более высоким рейтингом. Оказалось, что порядок игроков в таблице, полученной после турнира, совпал с порядком в рейтинге, сформированным до турнира. Могло ли на турнире случиться 10 удивительных игр?

{\source{2023 Latvia BW TST, упрощение.}

\ans{Да.} \sol{Легко построить турнир, в котором каждая команда четыре игры выиграла и четыре проиграла. В каждом таком турнире ровно 10 удивительных игр.}
} 

\q3. Игорь покрасил два двузначных числа в синий цвет. Сумма всех остальных двузначных (непокрашенных) чисел оказалась в 50 раз больше одного из синих. Найдите оба синих числа.

{\source{Кировские олимпиады}

\ans{60 и 95.} \sol{$10+11+12+...+99=4905$, $4905-a-b=50a$, т.е. $4905-b=51a$ или $4905-b$ делится на 51. Такое бывает только при одном двузначном $b=60$. При этом $a=95$.}
} 

\four


\q5. В числе, делящемся на $2025$, цифры заменили буквами (одинаковые --- одинаковыми, разные --- разными). Получилось слово ПОКРОВСКОЕ. Найдите наибольшее возможное такое число.

{\source{С.Волчёнков}

\ans{9782764875.} \sol{Небольшой перебор с применением признаков делимости на 9 и 25.}
} 
\r только ответ 6 баллов

\q6. Можно ли какие-то 9 чисел, среди которых есть ровно две пары одинаковых, но нет трёх одинаковых чисел, записать в клетки таблицы $3\times 3$ так, что сумма чисел в каждой строке, а также в каждом столбце была одна и и та же?

{\source{С.Волчёнков}

\ans{Да.} \sol{Пример по строкам: (1, 2, 2), (1, 10, -6), (3, -7, 9). {\it Замечание. Одинаковые числа обязательно должны быть в одном ряду.}}}


\seven


\eight






\end{document}
