\documentclass[a4paper,12pt]{article}                
\usepackage{amssymb, amsmath, graphicx, wrapfig}                        
\usepackage{amsmath}                        
\usepackage[utf8]{inputenc}               
\usepackage[russian]{babel}                 
\pagestyle{empty}          
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.1ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
\usepackage[a4paper, top=0.8cm,bottom=0.6cm,left=0.8cm,right=0.8cm,
marginparwidth=1.75cm]{geometry}               
\renewcommand{\baselinestretch}{0.93}    

\input urtur.sty
%\input CELLS.STY

% ДЛЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИЙ ВЫСТАВИТЬ ВТОРОЙ АРГУМЕНТ НА 0
% ДЛЯ НАЛИЧИЯ -- НА 1
\setcounter{ifsol}{1}

%%ДЛЯ УКАЗАНИЯ ИЛИ СКРЫТИЯ ИСТОЧНИКОВ/АВТОРОВ ЗАДАЧ
\setcounter{ifSource}{1}

\def\data{30.10.2025}
\newcounter{TurNumber}
\setcounter{TurNumber}{3}


\begin{document}

\ifnum\value{ifsol}=0 \large \fi


\MathBattleHead{\arabic{TurNumber}}{\data}{ВЫСШАЯ}{высшая}

\def\concap{
\ifnum\value{ifsol}=1
{\noindent\textbf{Конкурс капитанов.} Сумма двух чисел равна 499. При этом первое число оканчивается на цифру 4, а если её
зачеркнуть, то получится второе число. Что это за числа?
\ans{454 и 45.}
}
\fi
}

\concap 

\ifnum\value{ifsol}=0
{\vspace{-0,4cm}
}
\fi
\q1.one В некоторых клетках шахматной доски $8\times 8$ стоит по одной фишке. В каждой клетке, в которой нет фишки, записано число, равное количеству фишек в соседних с ней клетках (клетки считаются соседними, если у них есть хотя бы одна общая вершина).
Сколько существует расположений фишек, при которых сумма всех
записанных чисел нечётна?

{\source{Беларусь-2024, 3 этап, 11 класс}

\ans{$2^{63}$.} \sol{Если в левом нижнем углу есть фишка, то уберём её, а если нет, то поставим. Тогда расположения разобьются на пары с разной чётностью данных сумм.}
} 


\q2.  Серёжа взял синий маркер и выписал по кругу 100 различных чисел. Надя взяла красный маркер и для каждого синего числа выписала количество чисел между ним и ближайшим по часовой стрелке не превосходящим его числом, а также количество чисел между ним и ближайшим по часовой стрелке не меньшим его числом (например, для самого маленького числа она выписала 99 и 0, а для самого большого~--- 0 и 99). Какое наибольшее значение может принимать сумма двухсот выписанных Надей чисел? 
%  s33'

{\source{Беларусь-2024, 3 этап, 8 класс}

\ans{$7450=2\cdot(50+51+\ldots+99)$.} \sol{Пример: 100, 99, 98, \ldots, 51, 1, 2, 3, \ldots, 50. Тогда для первых 50 чисел будут выписаны пары чисел $(0,99)$, $(0,98)$, \ldots, $(0,50)$, а для следующих 50 чисел $(99,0)$, $(98,0)$, \ldots, $(50,0)$.

Оценка. Будем считать, что стоят числа от 1 до 100. Рассмотрим число 100. У него расстояние до ближайшего не меньшего числа 99, у следующего за ним по часовой стрелке это расстояние не больше 98 (так как 100 точно не меньше), у следующего 97 и так далее. Аналогично с 1 и расстоянием до ближайшего не большего числа. Таким образом, в итоговой сумме число 99 встречается не более 2 раз, числа, больше или равные 98 (то есть 98 или 99), встречаются не более 4 раз, числа, больше или равные 97, встречаются не более 6 раз, и так далее. Кроме того, у любого числа одно из расстояний равно 0, так как следующее за ним число или больше, или меньше. Таким образом, ненулевых чисел в сумме всего 100, поэтому максимальное значение выражения достигается на наборе 2 по 99, 2 по 98, \ldots, 2 по 50.

\r Только оценка или только пример: 4 балла.

\r Наблюдение, что для каждого Сережиного числа одно из Надиных чисел равно 0: баллы не добавляются.
}
} 



\q3.three  В коробке лежали конфеты 15 сортов, причем конфет всех сортов было поровну. Каждое утро девочка съедала несколько конфет разных сортов (не более одной каждого сорта), а каждый вечер ее папа добавлял в коробку по конфете каждого сорта, которого девочка сегодня не пробовала. Однажды ночью девочка обнаружила, что в коробке осталось ровно 15 конфет. Докажите, что конфет всех сортов по-прежнему поровну.

{\source{ОлЮМШ 2005.}

\sol{Четность числа конфет всех сортов всегда одинакова. Так как осталось 15 конфет, то конфет какого-то сорта нечетно. Следовательно, конфет каждого сорта нечетно, а тогда их ровно по одной.}
} 

\q4. Два последовательных натуральных числа назовём \emph{красивой парой}, если каждое из них раскладывается в произведение нечётного числа простых сомножителей. Например, $28=2\cdot 2\cdot 7$ и $29$~--- красивая пара. Докажите, что существует красивая пара, в которой оба числа больше $10^{100}$.

{\source{С. Берлов по мотивам 2025 ITAMO}

\sol{Рассмотрим простое число $p>10^{101}$. Пусть пары $p-1$, $p$ и $p$, $p+1$ не являются красивыми. Тогда числа $p-1$ и $p+1$ раскладываются в произведение чётного числа простых. Но тогда пара $\frac{p-1}2,\frac{p+1}2$ будет красивой. 
}
} 

\q5.five В круг встало 2025 мальчиков, каждый из которых держал в руках мяч. Раз в минуту все мальчики одновременно кидают мячи. Каждый мальчик кидает все имеющиеся у него мячи другому мальчику --- каждый раз одному и тому же (если у кого-то мячей нет, то он ничего не кидает). Через 2025 минут каждый мяч оказался у одного из двух соседей его первоначального владельца. Докажите, что кто-то остался без мяча.

{\source{ОлЮМШ }

\sol{ Предположим, что у каждого мальчика есть мячик, тогда у каждого мальчика ровно по одному мячику.  
Пронумеруем мальчиков по кругу $M_1$, \ldots, $M_{2025}$. Пусть в конце мячик $M_1$ оказался у $M_2$, тогда мячик $M_3$ у $M_4$, мячик $M_5$ у $M_6$, \ldots, мячик $M_{2025}$ у $M_1$, мячик $M_2$ у $M_1$ и так далее. То есть все мячики сдвинулись в одну и ту же сторону. 


Рассмотрим граф, где вершины~--- мальчики, ориентированные ребра~--- кому мальчик передаёт мяч. Из каждой вершины выходит ровно одна стрелка и в каждую должна входить ровно одна, иначе какой-то мальчик никогда не получит мячик. Следовательно, этот граф разбивается на циклы. Так как в итоге мяч должен сдвинуться на 1, то для каждого мальчика его сосед с большим номером находится в том же цикле. Следовательно, все мальчики находятся в одном цикле. Но тогда через 2025 операций каждый мячик вернется к первоначальному владельцу.

\r В предположении противного доказано, что все мячи сдвинулись в одну и ту же сторону: 2 балла.
}
} 


\q6. Игорь загадал натуральное число $n$, не превосходящее 1000. Миша не знает числа~$n$, но знает, что оно натуральное и не превосходит 1000. За один вопрос Миша называет Игорю натуральное число $x\le 1000$, после чего тот сообщает Мише остаток от деления числа $x$ на $n$. За какое минимальное количество вопросов Миша заведомо сможет определить число $n$?
%.

{\source{ОлЮМШ 2006}

\ans{2.} \sol{Докажем, что за 1 вопрос определить нельзя. Если $x<999$, то Игорь может ответить $x$ и тогда подойдут $n=999$ и $n=1000$. Если $x=999$ или $1000$, то Игорь ответит 99 или 100, соответственно, и тогда подойдут $n=300$ и $n=900$.

Докажем, что за два вопроса всегда можно определить. Первым вопросом спросим $x=1000$, получим остаток $r$. Тогда $x-r$ делится на $n$, и $x-r >1$.  Спросим про $x-r-1$, тогда мы получим ответ $n-1$ и однозначно определим $n$. 

\r Доказательство, что за 1 вопрос не всегда можно определить: 2 балла.

\r Доказательство, что за 2 вопроса всегда можно определить: 6 баллов.
}
} 



\q7.seven Даша и Максим вместе копят с нуля на новый компьютер. Для этого они устроились на работу и откладывают все заработанные деньги. Они уже проработали один месяц. Если Максиму в следующем месяце увеличат зарплату в 2 раза, а Даше оставят прежней, то по окончании второго месяца они не смогут купить  компьютер. А если Даше во втором месяце увеличат зарплату в 7 раз, а Максиму оставят прежней, то по окончании второго месяца они
смогут купить компьютер. Докажите, что Даша в одиночку сможет купить компьютер, 
если проработает 20 месяцев с начальной зарплатой.

{\source{Беларусь-2025, 3 этап, 8 класс}

\sol{Пусть зарплата Максима~--- $M$, а Даши~--- $D$, стоимость компьютера $K$. По условию, $3M+2D<K$, $2M+8D\geq K$. Умножаем первое на два и вычитаем из утроенного второго. Получаем $20D>K$, что и требовалось.}
} 


\q8.eight Можно ли выписать в строчку различные целые числа так, чтобы выполнялись три условия:\\
$\bullet$ чисел не меньше 241,\\
$\bullet$ каждое число не меньше $-400$, но не превосходит $400$,\\
$\bullet$ сумма всех чисел отрицательна, но сумма любых трех подряд идущих чисел положительна?

{\source{Д.Ширяев по мотивам Turkey Junior National Olympiad 2005}

{\ans{Можно.} \sol{Расставим 241 число так: $$-4\cdot 100,\,2\cdot 100,\, 2\cdot 100+1,\, -4\cdot 99,\, 2\cdot 99,\, 2\cdot 99 + 1,\ldots, -4\cdot 21,\, 2\cdot 21,\, 2\cdot 21 +1,\, -83.$$ (последнее число в ряду нарушает закономерность). Если разбить все числа кроме последнего на 80 троек, то в каждой тройке сумма будет равна 1, значит общая сумма равна $80-83=-3$. С другой стороны, в каждой тройке сумма положительна, что легко проверяется. }}

} 






\newpage

\MathBattleHead{\arabic{TurNumber}}{\data}{ПЕРВАЯ}{первая}

\concap 

\ifnum\value{ifsol}=0
{\vspace{-0,4cm}
}
\fi
\q1.one В некоторых клетках шахматной доски $8\times 8$ стоит по одной фишке. В каждой клетке, в которой нет фишки, записано число, равное количеству фишек в соседних с ней клетках (клетки считаются соседними, если у них есть хотя бы одна общая вершина).
Каких расположений фишек больше, тех, при которых сумма всех
записанных чисел нечётна или тех, при которых сумма всех
записанных чисел чётна?

{\source{Беларусь-2024, 3 этап, 11 класс}

\ans{Поровну.} \sol{Если в левом нижнем углу есть фишка, то уберём её, а если нет, то поставим. Тогда расположения разобьются на пары с разной чётностью данных сумм.}
} 


\q2. Серёжа взял синий маркер и выписал по кругу 100 различных чисел. Надя взяла красный маркер и для каждого синего числа выписала количество чисел между ним и ближайшим по часовой стрелке не превосходящим его числом, а также количество чисел между ним и ближайшим по часовой стрелке не меньшим его числом (например, для самого маленького числа она выписала 99 и 0, а для самого большого~--- 0 и 99). Чему равно минимальное значение суммы всех чисел, написанных красным маркером? 
%  s33'

{\source{По мотивам Беларуси-2024, 3 этап, 8 класс, вариация Солынина}


\ans{296.} \sol{Оценка. Для самого маленького синего числа выписано 99 и 0, а для самого большого~--- 0 и 99, так что сумма Надиных чисел уже не менее 198. Для каждого из остальных чисел Серёжи Надя выпишет 0 и какое-то натуральное число --- т.е. как минимум 1. Значит, сумма остальных красных чисел не менее 98.

Пример. Напишем 1, 2, \ldots, 50 через одно по кругу против часовой стрелки, а на оставшиеся места запишем 51, 52, \ldots, 100 по часовой стрелке.

\r Только оценка или только пример --- по 4 балла
} 
}

\three

\q4. Два последовательных натуральных числа $a$ и $b$ назовём \emph{красивой парой}, если они $a$ и $b$ раскладываются в произведение $k$ и $n$ (не обязательно различных) простых сомножителей, причём $k$ и $n$ одинаковой чётности. Например, $15=3\cdot 5$ и $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$~--- красивая пара, а 16 и 17 --- нет. Докажите, что существует красивая пара, в которой оба числа больше $10^{100}$.

{\source{С. Берлов по мотивам 2025 ITAMO}

\sol{Рассмотрим нечётное число $n>10^{101}$. Пусть пары $n-1$, $n$ и $n$, $n+1$ не являются красивыми. Тогда числа $n-1$ и $n+1$ раскладываются в произведение простых одинаковой чётности. Но тогда пара $\frac{n-1}2,\frac{n+1}2$ будет красивой. 
}
} 

\five

\q6.six Игорь загадал натуральное число $n$, не превосходящее 1000. Миша не знает числа~$n$, но знает, что оно натуральное и не превосходит 1000. За один вопрос Миша называет Игорю натуральное число $x\le 998$, после чего тот сообщает Мише остаток от деления числа $n$ на $x$. За какое наименьшее число вопросов Миша гарантированно сможет определить число $n$?

{\source{}
 
\ans{2} \sol{За один вопрос нельзя. Если ответ будет 1, то задуманное число 1 или  $x+1$. Вопрос первый $x=998$. При любом ответе, кроме 0, 1, 2, число  $n$ сразу определяется. При ответе 0 $n$ равно 0 или 998, при ответе 1 $n$ равно 1 или 999, при ответе 2 $n$ равно 2 или 1000. Второй вопрос $x=7$. В каждом из вариантов получается свой остаток от деление на 7: 0 при 0, 4 при 998, 1 при 1, 5 при 999, 2 при 2, 6 при 1000.

\r Доказательство, что за 1 вопрос не всегда можно определить: 2 балла.

\r Доказательство, что за 2 вопроса всегда можно определить: 6 баллов.
}
} 

\seven

\eight



\newpage

\MathBattleHead{\arabic{TurNumber}}{\data}{ВТОРАЯ}{вторая}

\concap 

\ifnum\value{ifsol}=0
{\vspace{-0,4cm}
}
\fi
\one


\q2. В ряд стоят 100 солдат. Они нумеруются по порядку от 1 до 100. Генерал может отдать одну из двух команд: I. <<Выйти из строя всем с нечётными номерами!>> или II. <<Выйти из строя всем с чётными номерами!>>. После выполнения команды оставшиеся солдаты смыкают строй, заново нумеруются, и генерал продолжает командовать. Так продолжается, пока в строю не останется ровно два солдата. Сколько различных пар солдат может получиться при различных командах генерала? Например, если солдат 4, то могут получиться две разные пары, а если солдат 3, то только одна. 

{\source{фольклор}}

\ans{36.} \sol{Обозначим за 
$T(n)$ количество пар, которые могут получиться, если всего солдат $n$. 
После выполнения каждой команды остаётся разное число солдат, поэтому, считаем количество решений при разных случаях и результаты складываем, т.е. $T(100)=T(50)+T(50)$.
Далее, $T(50)=T(25)+T(25)$,
$T(25)=T(13)+T(12)$ 
$T(13)=T(7)+T(6)$
$T(7)=T(4)+T(3)$, $T(6)=T(3)+T(3)$. Но, $T(4)=2$, а $T(3)=1$. Поэтому, $T(7)=3$, $T(6)=2$, $T(12)=4$, $T(13)=5$,
$T(25)=9$, $T(50)=18$, $T(100)=36$
}

\q3.  В коробке лежали конфеты 5 сортов, причем конфет всех сортов было поровну. Каждое утро девочка съедала 3 конфеты разных сортов, а каждый вечер её папа добавлял в коробку по конфете каждого сорта, которого девочка сегодня не пробовала. Однажды ночью девочка обнаружила, что в коробке осталось ровно 5 конфет. Докажите, что осталось по одной конфете каждого сорта.

{\source{}

\ans{Ответ.} \sol{Четность числа конфет всех сортов всегда одинакова. Так как осталось 5 конфет, то конфет какого-то сорта нечетно. Следовательно, конфет каждого сорта нечетно, а тогда их ровно по одной.}
} 

\q4. На нескольких карточках требуется записать различные последовательности длины 7, составленные только из нулей и единиц (по одной последовательности на одной карточке). Две карточки назовём {\it похожими}, если последовательности, записанные на них, различаются ровно в одной позиции.
Верно ли, что можно получить 50 карточек так, чтобы среди них не нашлось двух похожих?


{\source{}

\ans{Верно.} \sol{
К каждой последовательности длины 6 допишем 0, если количество единиц в ней чётно или 1, если количество единиц в ней нечётно. Двух похожих последовательностей, очевидно, не будет.
}
} 

\five


\six

\seven

\q8. Каждый год, начиная с 2002 по 2025 включительно, министерство труда Завралья сообщало, что в последние 2 года (в текущем и предыдущем) рост средней зарплаты был положительным. А в 2025 году оказалось, что средняя зарплата за последние 25 лет (с 2001 по 2025 включительно) снизилась. Могло ли министерство говорить правду?

{\source{фольклор}

\ans{Да.} \sol{Пример: каждый нечётный год, начиная с 2001-го зарплата снижалась на 99 рублей, а каждый чётный увеличивалась на 100 рублей.}
} 






\end{document}
