% 3-й тур 

\paper{Высшая}{}{

\concap{Найдите наименьшее натуральное число, кратное 72, в записи которого есть цифры 8 и 9 (обе встречаются) и нет других.}
{$8\,888\,88\mathbf{9}\,888$.}

\q1.one На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ отметили точки $P$, $Q$ и $R$ соответственно так, что $PBQR$~--- ромб. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$, пересекаются в точке $T$. На отрезках $AT$ и $TC$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно так, что $\angle APK = \angle AQP$ и $\angle CQL = \angle CPQ$. Докажите, что прямые $KL$ и $PQ$ симметричны относительно прямой $AC$.
\source И. Журин

\q2.two Дано натуральное число $n$. На рёбрах графа с $2^n$ вершинами написаны попарно различные вещественные числа. Назовём путь $v_1v_2\ldots v_k$ ($k\geq 1$) {\it возрастающим}, если числа на его рёбрах $v_1v_2$, $v_2v_3$, \ldots, $v_{k-1}v_k$ идут в порядке возрастания. Оказалось, что не существует двух различных возрастающих путей $v_1v_2\ldots v_s$ и $w_1w_2\ldots w_t$,  у которых $v_1=w_1$ и $v_s=w_t$. Найдите наибольшее возможное количество рёбер в таком графе.
% К 5?
% 106
\source И. Митрофанов

\q3.three Есть двое песочных часов, одни отмеряют $a$ минут, другие --- $b$ минут, где $a<b$ --- взаимно простые натуральные числа. Сейчас весь песок внизу колб. Докажите, что с помощью этих часов можно отмерить от нынешнего момента любое целое число минут, не меньшее $b+(a/2-1)^2$.
% К-ТЧ 7
% 49
% Не получится ли улучшить?
\source Nieuw Archief 2013-2

\q4. Дан выпуклый многогранник $P$. Три параллельных плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, находящихся (в этом порядке) на равных расстояниях друг от друга, высекают из $P$ многоугольники $A$, $B$, $C$ соответственно. Известно, что в $A$ содержится эллипс площади $a$, а в $C$ --- эллипс площади $c$. При каком наибольшем $b$ можно гарантировать, что $B$ содержит эллипс площади $b$?
% 107
% КГ 3?
\source  MathOverflow, И. Богданов

\q5.five Дано натуральное число $n$. Натуральные числа $x$ и $y$ --- делители числа $2n^2-1$. Докажите, что число $x+y$ не делится на $2n+1$.
% ТЧ 2
% 210
\source конкурс IMAR

\q6.six Многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами имеет как минимум 1000 различных действительных корней. Докажите, что для любого действительного числа $a$ многочлен 
$$
  P(x)+aC_{2025}^1P'(x)+a^2C_{2025}^2P''(x)+\ldots+a^{2025}C_{2025}^{2025}P^{(2025)}(x)
$$ 
имеет хотя бы один действительный корень. Напомним, что $P^{(n)}(x)=P^{\prime\prime\dots \prime}(x)$ --- это $n$-я производная многочлена $P(x)$.
% А-Ан 5-6
\source Putnam 2015, вариация

\q7. Докажите, что существует $C>0$, для которого при каждом натуральном $n$ верно следующее утверждение. Пусть на плоскости даны единичные векторы $\vec {v_0},\vec {v_1},\dots,\vec {v_n}$, причём при каждом $i=1,2,\dots,n$ вектор $\vec {v_i}$ получается из $\hbox to 0pt{$\vec {\phantom{v_i}}$\hskip 0pt plus 0pt minus 1fil}v_{i-1}$ поворотом против часовой стрелки на угол $\alpha_i$, где $\pi/2\leq \alpha_1\leq\alpha_2\leq\dots\leq\alpha_n\leq 3\pi/2$. Тогда длина суммы всех $n+1$ векторов не превосходит $C$.
% А 1 
\source N. Safaei

\q8.eight Для подмножеств $X,Y\subseteq \mathbb R$ обозначим $X+Y=\{x+y\colon x\in X,y\in Y\}$; в частности, если $x\in\mathbb R$, то $x+Y=\{x\}+Y=\{x+y\colon y\in Y\}$. 

Пусть $B$ --- (не обязательно конечное) множество  вещественных чисел, содержащее $0$ и вместе с любым числом содержащее ему противоположное. Обозначим $B_k=\underbrace{B+B+\ldots+B}_k$. Предположим, что для каждого $k$ множество $B_k$ покрывается конечным количеством множеств вида $a+B$, $a\in\mathbb R$, и обозначим через $f(k)$ наименьшее количество множеств в таком покрытии. Предположим, что $f(k)$ постоянна при всех достаточно больших $k$. Докажите, что, также при достаточно больших $k$, вместе с любыми двумя числами $B_k$ содержит их разность.
% 131
% К-А 6
\source MathOverflow

\q9. В игре участвуют $n$ игроков, пронумерованных числами $1,2,\dots,n$, которые ходят по очереди в циклическом порядке. Вначале на доске нарисовано конечное дерево, и в одной из его вершин стоит фишка. Каждым ходом очередной игрок двигает фишку по ребру в соседнюю вершину, в которой она ещё не была. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. При каждых натуральных $n>k$ выясните, может ли так случиться, что перед началом игры любые $k$ игроков могут договориться о совместных действиях так, чтобы ни один из них гарантированно не проиграл.
% 111в
% Есть даунгрейды --- обращайтесь!
% К 2
%В каждой позиции у игрока есть конечное количество возможных ходов (возможно, ни одного); тот, кто не может сделать ход, проиграл. Известно, что игра гарантированно длится не более миллиона ходов. Может ли случиться, что любые двое, договорившись заранее, могут обеспечить, что проиграет кто-то из остальных троих?
\source С. Берлов, И. Богданов, В. Брагин

\q10.ten Дан треугольник $ABC$. Выбирается произвольная касательная $\ell$ к его описанной окружности, которая пересекает прямые $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Прямые $AD$, $BE$ и $CF$ отразили относительно биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ соответственно, и они образовали треугольник. Докажите, что его площадь не зависит от выбора касательной $\ell$.
% Г 4-5???
% 206
\source К. Бельский


}


\newpage 


\paper{Первая}{}{

\concap{Найдите наименьшее натуральное число, кратное 72, в записи которого есть цифры 8 и 9 (обе встречаются) и нет других.}
{$8\,888\,88\mathbf{9}\,888$.}
 56

\q1. \one
% Г 6-7

\q2. \two
% К 2

\q3. \three
% КТЧ 7

\q4. Дан выпуклый многогранник $P$. Три параллельных плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, находящихся (в этом порядке) на равных расстояниях друг от друга, высекают из $P$ многоугольники $A$, $B$, $C$ соответственно. Известно, что в $A$ содержится квадрат со стороной~$a$, а в $C$ --- квадрат со стороной~$c$. При каком наибольшем~$b$ можно гарантировать, что $B$ содержит квадрат со стороной~$b$?
% 107'
% КГ 5-6
\source  MathOverflow, И. Богданов, С. Лучинин

\q5. \five
% ТЧ 1

\q6. \six
% Ан 3 

\q7. Найдите все функции $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что
$$f(xy) + f(f(y)) = f((x + 1)f(y))$$
для всех вещественных $x$ и $y$.
\source форум AoPS
% А 8


\q8. \eight
% Математика 4-5

\q9. В игре участвуют 5 игроков, пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, которые ходят по очереди в циклическом порядке. Вначале на доске нарисовано конечное дерево, и в одной из его вершин стоит фишка. Каждым ходом очередной игрок двигает фишку по ребру в соседнюю вершину, в которой она ещё не была. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Может ли случиться, что перед началом игры любые двое игроков могут договориться о совместных действиях так, чтобы ни один из них гарантированно не проиграл?
% 111а
% К 4-5
\source С. Берлов, И. Богданов

\q10. \ten

}




