% 1-й тур

\paper{Высшая}{}{

\sloppy 

\concap{На Региональную олимпиаду предлагаются задачи 8 тематик, одна из них~--- геометрия. Вариант (два дня по 5 задач в день) составляется так: вначале выбираются первые 4 задачи в каждом дне, они должны быть всех 8 тематик, и все такие перестановки выбираются равновероятно. Затем выбираются две последних задачи --- они должны иметь разные тематики, при этом в каждом дне должно быть 5 разных тематик; все пары тематик, подходящие под это условие, равновероятны. Найдите вероятность того, что в первый день не будет геометрии.}{$3/8$.}


\q1.one Докажите, что при любых натуральных $n$ и $k$ из чисел $k+1$, $k+2$, \dots, $k+n$ можно выбрать несколько (хотя бы одно) чисел так, чтобы их сумма делилась на $1+2+\ldots+n$.
\source MathOverFlow 
% там говорят, что это какая-то олимпиада в Индии, но непонятно какая
% К-ТЧ 4-5
% 175

\q2.two Дано натуральное число $k$. В рельсовом конструкторе есть обычные куски рельсов (прямые и изогнутые), а также \emph{развилки}, см. рисунок (все дуги имеют градусную меру $30^\circ$). В развилку есть один вход $a$ с одной стороны и два входа $b_1$ и $b_2$ с другой; в каждый момент времени $a$ соединён по развилке с одним из $b_i$. Если поезд заезжает на $a$, он выезжает по соединённому с ним $b_i$. Если поезд заезжает на один из $b_j$, он выезжает через~$a$, и $a$ становится соединён именно с этим $b_j$. Петя собрал из конструктора железнодорожную сеть и запустил по ней $k$ поездов (едущих с одинаковыми скоростями) так, что поезда ездят бесконечно долго, не сталкиваясь и не сходя с рельсов, и на каждой развилке переключения происходят бесконечное  число раз. Какое наибольшее количество развилок он мог использовать?

\centerline{\epsfig{figure=pic/tur1-1.mps,scale=1.2}}
% 129
\source P. Gorantla, J. Koizumi

\q3.three Для множества $A\subseteq \{0,1,\ldots,2025!-1\}$ назовём целое число \emph{$A$-подходящим}, если его остаток при делении на $2025!$ принадлежит $A$. Назовём множество $A$ \emph{универсальным}, если любой многочлен с вещественными коэффициентами, принимающий целые значения во всех $A$-подходящих точках, принимает целые значения и во всех целых точках. Найдите наименьшую возможную мощность универсального множества.
% 55
% А-ТЧ 5
\source Ф. Петров

\q4. В пространстве даны $n$ точек $A_1,A_2,\dots,A_n$. Докажите, что квадрат наименьшего радиуса шара, содержащего все эти точки, равен наибольшему значению выражения 
$$\sum_{1\leq i<j\leq n} \mu_i\mu_j\cdot  A_iA_j^2$$ 
по всем наборам $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n$ неотрицательных чисел с единичной суммой.
% Г-нерво;) 2=3
\source фольклор

\q5. Барон Мюнхгаузен придумал перестановку $\alpha(1),\alpha(2),\dots$ всех натуральных чисел. Он утверждает, что если ему дадут перестановку $\beta(1),\beta(2),\dots$ натуральных чисел, он сможет подобрать такую бесконечную последовательность натуральных чисел $u_1<u_2<\dots$, что неравенство $\beta(i)<\beta(j)$ выполнено тогда и только тогда, когда и неравенство $\alpha(u_i)<\alpha(u_j)$. Могут ли слова барона быть правдой?
% 166
% К 1-2
\source D. van der Zypen, И. Богданов

\q6.six Найдите все функции $f\colon(0,\infty)\to(0,\infty)$, обладающие следующим свойством: для любых положительных чисел $x$ и $y$ таких, что $2x\leqslant y\leqslant 3x$, справедливы неравенства \[2f(x)\leqslant f(y)\leqslant 3f(x).\]
% А 6
\source Putnam, 2016

\q7. Дано натуральное число $a>2025$. Докажите, что существуют натуральные числа $N$, $b$ и $c$ такие, что $a < b < c$, и все три числа $N + a!$, $N + b!$, $N + c!$ являются точными квадратами.
% 156
% ТЧ РГ 2-3
\source N. Safaei

\q8.eight Найдите все вещественные $\alpha>0$, для которых любой выпуклый $2025$-угольник можно разрезать на дельтоиды, у каждого из которых найдётся пара равных углов, не меньших $\alpha$. Напомним, что \emph{дельтоидом} называется выпуклый четырёхугольник, хотя бы одна из диагоналей которого является его осью симметрии.
% КГ 7-8
\source MathOverFlow

\q9.nine На окружности $\omega$ выбраны точки $A$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $C_1$, $C_2$, $C_3$ именно в таком порядке. Прямые $B_1C_1$, $B_2C_2$, $B_3C_3$ образуют треугольник $\Delta$. Точка $P$ лежит внутри  каждого из треугольников $AB_1C_1$, $AB_2C_2$, $AB_3C_3$, причём образы $P$ при изогональном сопряжении относительно этих треугольников лежат на одной прямой. Докажите, что $P$ лежит на описанной окружности треугольника $\Delta$.
\source В. Конышев

\q10.ten Пусть $n$, $k$ и $s$ --- натуральные числа, причём $s<k$. Для каждых $a_1,a_2,\dots,a_k\in\{1,2,\dots,n\}$ определено вещественное число $f(a_1,a_2,\dots,a_k)$, причём $f(1,1,\dots,1)\neq 0$. Известно, что если зафиксировать любые $s$ из чисел $a_1,a_2,\dots,a_k$ и просуммировать значения $f$ по всем $n^{k-s}$ таким наборам, то получится $0$. Найдите наименьшее возможное количество наборов $(a_1,a_2,\dots,a_k)$, для которых $f(a_1,a_2,\dots,a_k)\neq 0$.
% 164
% К-А 8
\source Р. Карасёв, И. Богданов

}


\newpage 


\paper{Первая}{}{

\concap{На Региональную олимпиаду предлагаются задачи 8 тематик, одна из них~--- геометрия. Вариант (два дня по 5 задач в день) составляется так: вначале выбираются первые 4 задачи в каждом дне, они должны быть всех 8 тематик, и все такие перестановки выбираются равновероятно. Затем выбираются две последних задачи --- они должны иметь разные тематики, при этом в каждом дне должно быть 5 разных тематик; все пары тематик, подходящие под это условие, равновероятны. Найдите вероятность того, что в первый день не будет геометрии.}{$3/8$.}

\q1. \one

\q2. Назовём \emph{правым сапогом} вертикальную полоску из $k\geq 1$ клетки, к нижней клетке которой справа приклеена ещё одна клетка. \emph{Левый сапог} определяется аналогично, только приклеиваемая клетка находится слева, и $k \geq 2$ (то есть горизонтальная доминошка --- правый сапог, но не левый). Рассмотрим клетчатую лесенку ширины $100$: это доска $100\times 100$, из который убрали все клетки строго над главной диагональю, идущей из левого нижнего угла в правый верхний. Докажите, что в любом её разбиении на правые и левые сапоги найдутся хотя бы $50$ левых сапогов.  
\source С. Берлов

\q3. \three

\q4. На плоскости даны $n$ точек $A_1,A_2,\dots,A_n$. Докажите, что квадрат наименьшего радиуса круга, содержащего все эти точки, равен наибольшему значению выражения 
$$\sum_{1\leq i<j\leq n} \mu_i\mu_j\cdot A_iA_j^2,$$ 
по всем наборам $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n$ неотрицательных чисел с единичной суммой.
% Г-нерво;) 2=3
\source фольклор

\q5. Действительные числа $a_0$, $a_1$, \ldots, $a_n$ и $x$, где $0 < x < 1$, удовлетворяют условию
\[
\frac{a_0}{1-x} + \frac{a_1}{1-x^2} + \ldots + \frac{a_n}{1-x^{n+1}} = 0.
\]
Докажите, что существует действительное число $y$ такое, что $0 < y < 1$ и \(a_0 + a_1 y + \ldots + a_n y^n = 0.\)
\source Putnam, 2013

\q6. \six

\q7. Чему равно минимальное значение выражения
\[
\sum_{i=1}^{k-1} \frac{a_{i+1}}{\text{НОД}(a_i, a_{i+1})},
\]
где минимум берётся по всем $k$ и по всем строго возрастающим последовательностям
$(a_1, \dots, a_k)$ натуральных чисел таким, что $a_1 = 1$ и $a_k = 2025^{2025}$?
\source T. Yegoryan

\q8. \eight

\q9. \nine

\q10. \ten

}
