\olymp{СЕНЬОРОВ}{КОМАНДНАЯ}{

\q1. На клетчатой доске $28\times 28$ все 28 клеток диагонали, идущей из левого верхнего угла доски в правый нижний, покрашены в чёрный цвет. Хромая ладья за один ход переходит из клетки в соседнюю с ней по стороне. Хромая ладья обошла все клетки доски, побывав в каждой ровно один раз (в частности, она не возвращалась в начальную клетку). Докажите, что в какой-то момент ладья сошла с чёрной клетки, а следующим ходом пришла на чёрную. 
\source Швейцария, 2024, второй тур (оригинально --- Турнир Городов)

\q2. Даны натуральные числа $b_1,b_2,\dots,b_n,c_1,c_2,\dots,c_m$, а также натуральное $k>2$. Обозначим 
$$
  P=\prod_{i=1}^{n}(b_i+k-1)\,\prod_{j=1}^{m}(c_j+1), \quad
  Q=\prod_{i=1}^{n}(b_i+k)\,\prod_{j=1}^{m}c_j, \quad
  R=\prod_{i=1}^{n}(b_i+1)\,\prod_{j=1}^{m}(c_j+k-1).
$$
Докажите, что если $P<Q$, то $P>R$. Как обычно, через $\displaystyle \prod_{s=1}^ta_s$ обозначается произведение $a_1a_2\ldots a_t$. 
% 130
\source И. Богданов, MathOverflow

\q3. В окружности, описанной около неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$, взят диаметр $UV$, проходящий через ортоцентр $H$ этого треугольника. Пусть $AD$ --- высота этого треугольника, а $S$ --- ортоцентр треугольника $DUV$. Докажите, что середина отрезка $AS$ лежит на прямой $BC$.
\source И. Замоторин

\q4. Пусть $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ --- перестановка чисел $1,2,\dots,2n+1$. Обязательно ли можно окрасить все числа $1,2,\dots,2n+1$ в красный и синий цвета так, чтобы при любом $i=1,2,\dots,2n+1$ числа $i,i+1,i+2$ не были все красными, и числа $a_i,a_{i+1},a_{i+2}$ не были все синими? Числа и индексы берутся по модулю $2n+1$.
% 26
\source MathOverflow

\q5. Верно ли, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые не представимы в виде $\pm m^{17}\pm p$, где $m$ --- натуральное число, а $p$ --- простое число?
\source N. MacKinnon, AMM, модификация


\q6. Дан описанный четырёхугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые~$AD$ и $BC$ --- в точке $F$. Внешние биссектрисы углов $A$ и $C$ и прямая $EF$ образуют треугольник~$\triangle_1$. Внешние биссектрисы углов $B$ и $D$ и прямая $EF$ образуют треугольник $\triangle_2$. Докажите, что описанные окружности треугольников $\triangle_1$ и $\triangle_2$ касаются. 
% Из юниоров
\source К.Бельский

\q7. Для натуральных чисел $s<t<n$ докажите, что
$$
  C_n^s\cdot C_n^t=C_{n+0}^{s+t}\cdot C_s^0\cdot C_t^0+C_{n+1}^{s+t}\cdot C_s^1\cdot C_t^1+\ldots+C_{n+s}^{s+t}\cdot C_s^s\cdot C_t^s.
$$
Как обычно, для целых неотрицательных чисел $a$ и $b$ через $C_a^b$ обозначается количество $b$-элементных подмножеств $a$-элементного множества. В частности, при $a<b$ выполнено $C_a^b=0$. 
% 180
\source книга I. Tomescu "Problems in Combinatorics and Graph Theory"\ 

\q8. Найдите все пары приведённых многочленов $P(x)$, $Q(x)$ с комплексными коэффициентами такие, что $P(x)^2+1$ делится на $Q(x)$ и $Q(x)^2+1$ делится на $P(x)$. Напомним, что многочлен называется {\it приведённым}, если его старший коэффициент равен 1. 
% 123
\source IMC2018


}
