% 4-й тур, финал

\paper{Высшая лига, бои за 1--4 места}{}{

\concap{Пусть $f(x)$~--- приведенный многочлен шестой степени такой, что  
$f(-1)=-1$, $f(2)=-4$, $f(-3)=-9$, $f(4)=-16$, $f(-5)=-25$ и $f(6)=-36$. Чему может быть равно $f(1)$?
}{$-721$}

\q1.one На плоскости дан выпуклый многоугольник $S$. Также дано число $\alpha$, причём $0<\alpha<\pi$. Докажите, что можно выбрать две вершины $X$ и $Y$ многоугольника $S$, а также выбрать точку $O$ вне $S$ так, что $OX=OY$, $\angle XOY=\alpha$, и каждая из прямых $OX$ и $OY$ пересекает $S$ по одной точке.
% 104
% КГ 3    
\source E. Ackerman, T. Gelander, R. Pinchasi

\q2.two Назовём натуральный делитель $d$ числа $n$ \emph{маленьким}, если $d^2<n$. Известно, что все маленькие делители натурального числа $N$ являются числами Фибоначчи. Какое наибольшее количество различных простых делителей может иметь $N$?
% ТЧ 7
% 33
\source сообщил П. Козлов

\q3.three Пусть $\mathcal F$ --- множество всех квадратных трёхчленов с отрицательным старшим коэффициентом, целыми коэффициентами и дискриминантом $101$. Для каждого рационального $x$ рассмотрим сумму
$$
  T(x)=\sum_{P\in\mathcal F\colon P(x)>0}P(x).
$$
Докажите, что значение этой суммы не зависит от $x$.
% 157
% ТЧ 2
% Для финала можно дать про вещественные, если надо подгробить
\source N. Safaei, D. Grozev

\q4. У Ивана есть $n$ разных фруктов. \emph{Нумерацией} назовём способ выложить все фрукты в ряд слева направо. Некоторые из $n!$ нумераций Ивану приятны. Он обнаружил, что для каждой приятной нумерации можно выбрать такие $k$ фруктов, что при любой перестановке местами двух последовательных фруктов из выбранных (есть $k-1$ способ сделать это: например, если выбраны второй, пятый и сотый фрукты, то можно менять второй и пятый либо пятый и сотый) он опять получает приятную нумерацию. Докажите, что приятных нумераций хотя бы $k!$.
\source И. Митрофанов, IMC2023

\q5. Неравнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружность $\omega_1$ касается отрезков $AB$, $AC$ и окружности $\Omega$. Окружность $\omega_2$ касается отрезков $BC$, $AC$ и окружности $\Omega$. Прямая, содержащая среднюю линию треугольника $ABC$, параллельную $AC$, пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что найдется такая точка $T$, что для любой (кроме, возможно, конечного количества) окружности $\omega$, проходящей через точки $P$ и $Q$, найдутся две окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$, касающиеся $\omega$ в точках $X$ и $Y$ соответственно, лежащих с $T$ на одной прямой, а также касающиеся окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$.
\source И. Замоторин



\q6. Многочлен $f(x)$ с рациональными коэффициентами степени, большей 2, не раскладывается в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами меньшей степени. У $f(x)$ есть комплексные корни $p\pm iq$, где $p$ --- вещественное число, а $q$ --- положительное число такое, что $q^2$ рационально. Докажите, что у $f$ есть ещё один корень, мнимая часть которого не меньше $q$.
% 19
% А 4
\source N. Safaei, модифицировано И. Богдановым

\q7.seven Конфетная фабрика производит несколько сортов конфет. Их продают не по отдельности, а в коробках; всего есть $k$ типов коробок, в каждой --- по конфете некоторых сортов (в коробках одного типа наборы сортов одинаковые). Дед Мороз составил все $2^k-1$ возможных подарков, содержащих не более чем по коробке каждого типа, и в каждом из них нашёлся сорт, конфет которого нечётное количество. Назовём (упорядоченную) пару подарков \emph{хорошей}, если для каждого сорта хотя бы в одном из этих двух подарков количество конфет этого сорта чётно. Докажите, что количество хороших пар подарков не превосходит $3^k$.
% К-ЛА 3
% 139
\source MathOverflow, И. Богданов

\q8. Скажем, что непрерывная функция $f\colon [0, 1]\to\mathbb R$ является \emph{$k$-квадратичной}, если отрезок $[0, 1]$ можно разбить на $k$ отрезков так, что для каждого отрезка разбиения $I$ существуют такие числа $a$, $b$, $c$, что $f(x)=ax^2+bx+c$ при всех $x\in I$. 

Даны функции $f_1, f_2, ,\dots, f_n\colon [0, 1]\to\mathbb R$. Известно, что функция $f_i$ является $k_i$-квадратичной, причём $k_1+k_2+\ldots+k_n=10^6$. Докажите, что функция $ F(x) =\max(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x))$ является $10^9$-квадратичной.
\source В. Мокин

\q9.nine Дан выпуклый пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ (полагаем $A_{i\pm 5}=A_i$), Известно, что при любом $i=1,2,3,4,5$ прямые $A_{i+2}A_{i+3}$ и $A_{i+1}A_{i+4}$ параллельны. Докажите, что на каждой прямой $A_{i+2}A_{i+3}$ ($i=1,2,3,4,5$) можно выбрать точку $B_i$ так, что прямые $A_iB_i$ будут иметь общую точку, и все отрезки $A_iB_i$ будут одинаковой длины.
% Г ?
% сообщил Ширяев
\source A. Bhattacharya, Рождественская олимпиада Art Of Problem Solving, 2022
%https://cmc.ericshen.net/CMC-2022/CAMO-2022-Solutions.pdf

\q10.ten Назовём конечное слово из знаков $+$ и $-$ \emph{неубывающим}, если в любом его префиксе плюсов не меньше, чем минусов; аналогично определим \emph{невозрастающее} слово. Дано бесконечное вправо слово $W$ из плюсов и минусов. Обязательно ли найдётся натуральное число $k$ такое, что для любого натурального числа $N$ найдутся либо $N$ неубывающих слов длины не большей $k$, либо $N$ невозрастающих слов длины не большей $k$, конкатенация которых является подсловом в $W$?
%36
\source MathOverflow


}

\newpage 


%\paper{Высшая лига, бои за 5--8 места}{}{


\paper{Высшая лига, бои за 5--8 места. Первая лига}{}{

\concap{Пусть $f(x)$~--- приведенный многочлен шестой степени такой, что  
$f(-1)=-1$, $f(2)=-4$, $f(-3)=-9$ и $f(4)=-16$, $f(-5)=-25$, $f(6)=-36$. Чему может быть равно $f(1)$?
}{-721}

\q1. \one
% КГ 3

\q2. \two
% ТЧ 7

\q3. \three
% ТЧ 1-2

\q4. На плоскости отмечены конечное количество точек общего положения --- вершины некоторого треугольника $\Delta$ и несколько точек внутри него. Затем проведены все стороны $\Delta$ и ещё несколько попарно не пересекающихся отрезков с концами в отмеченных точках, разбивающие $\Delta$ на треугольники. Из каждой внутренней точки выходит кратное 3 количество отрезков. Может ли случиться, что количества отрезков, выходящих из вершин $\Delta$, имеют разные остатки при делении на 3?
% % 116
% % К 4-5
\source К. Иванов

\q5. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $H$ такая, что $AH \perp BC$. Точка $X$ такова, что $AX = AH$. Точки $D$ и $E$ внутри треугольников $BAX$ и $CAX$ соответственно таковы, что $\angle ABD = \angle DAX$ и $\angle AXD = \angle DAB$, а также $\angle ACE = \angle EAX$ и $\angle AXE = \angle EAC$. Докажите, что описанная окружность треугольника $XDE$ касается прямой $BC$.
% Г 7
\source С. Чуев, модифицировано

\q6. Многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ с комплексными коэффициентами получаются друг из друга перестановкой коэффициентов. Докажите, что существует комплексное число $z\neq 1$ такое, что $|z|=1$ и $|P(z)|=|Q(z)|$.
% 132
\source MathOverflow, модифицировано И. Богдановым

\q7. \seven
% К+Линал, 2

\q8. Найдите все непрерывные функции \( f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) такие, что при некотором натуральном $m$ неравенства
$$
  a+f(a)\leq b+f(b)
  \quad\text{и}\quad
  a+f(a)+f^2(a)+\ldots+f^m(a)\geq b+f(b)+f^2(b)+\ldots+f^m(b)
$$
выполнены при всех вещественных $a<b$. 
%функция \( x+ f(x) \) не убывает,  и при этом существует такое натуральное число \( m \), что функция  \[ x + f(x) + f^2(x)+ \ldots + f^m(x) \] не возрастает.
Здесь \( {f^{n}(x) = f(f(\dots (f(x))\ldots))}\)
 --- \(n\)-ая итерация функции~\(f\).
% 192
% Ан 7
\source D. Miheţ

\q9. \nine
% Г 3

\q10. \ten
% К 5

}
