% 2-й тур

\paper{Высшая}{}{

\sloppy 

\concap{У уборщицы очень странная швабра. Она представляет собой квадрат со стороной 1, закреплённый к рукоятке одной стороной. Уборщица стоит в точке $X=(0,2)$, а швабра~--- квадрат с вершинами $A=(0,0), B=(0,1), C=(1,1), D=(1,0)$, рукоятка закреплена за сторону $AD$. Уборщица повернулась на $60^\circ$ (см. рисунок). \\
\centerline{\includegraphics[]{pic/concap-2-blackboard.jpg}}
Какую площадь пола она замочила? Другими словами, какую площадь заметёт квадрат $ABCD$ при повороте на $60^\circ$ вокруг точки $X$?}{$2\pi/3+1$.}

\medskip 

\q1.one У Саши и Ильи есть граф с 2025 вершинами без рёбер. Вершины пронумерованы числами $1,2,\dots,2025$. Саша и Илья делают ходы по очереди, начинает Саша. За один ход игрок проводит одно ребро, при этом в графе не должно появиться кратных рёбер и циклов. После проведения ребра между вершинами $i$ и $j$ ему присваивается вес $|i-j|$. Когда рёбер больше проводить нельзя, считается сумма весов всех проведенных ребер. Саша стремится сделать ее как можно большей, а Илья~--- как можно меньшей. Чему будет равна эта сумма при правильной игре?
%к из 2 лиги
% К 5
\source USA TST, 2025

\q2. В пространстве даны три красных и три синих выпуклых многогранника. Каждый красный многогранник имеет общую точку с каждым синим. Докажите, что существует прямая, пересекающая либо все красные, либо все синие многогранники. 
% 28
% КГ 1
\source R. Strauz

\q3. Даны два натуральных числа $A$ и $B$ без нулей в десятичной записи. Число $B^\prime$ получается, если записать цифры $B$ в обратном порядке. Оказалось, что числа $A-B$ и $AB^\prime-1$ являются степенями десятки с целыми неотрицательными  показателями. Чему может равняться $B$?
% ТЧ 5-6
\source А. Кузнецов, М. Туревский

\q4.four Клетки таблицы $n\times n$, где $n > 1$, заполнены натуральными числами от $1$ до $n$ так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Рассмотрим все (неупорядоченные) пары клеток, находящихся в одной строке. Назовём такую пару \emph{правильной}, если число в левой клетке меньше, чем в правой. Найдите наибольшее возможное количество правильных пар клеток.
% 113'
% К 7
\source А. Грибалко, усилено И. Богдановым

\q5.five Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, продолжение $AC$ за точку $A$ в точке $R$, а меньшие дуги $AB$ и $BC$ окружности $\Omega$ в точках $X$ и $Y$ соответственно.
Пусть $T_1$~--- точка пересечения общих внешних касательных к окружностям, касающимся отрезков $QY$, $BC$ и окружности $\Omega$; а $T_2$~--- точка пересечения общих внешних касательных к окружностям, касающимся отрезков $PY$, $AB$ и окружности $\Omega$. Пусть $T_3$~--- точка пересечения общих внешних касательных к окружности, касающейся $\Omega$, отрезка $RX$ и продолжения $AR$ за точку $R$, и окружности, касающейся $\Omega$ и продолжений $XY$ и $AC$ за точки $Y$ и $C$ соответственно.
Докажите, что точки $T_1$, $T_2$ и $T_3$ лежат на одной прямой.
% Г 4
\source К. Бельский, модифицировано

\q6.six Пусть $P(x)$ и $Q(x)$~--- два ненулевых многочлена с вещественными коэффициентами, $\deg P\hm<\deg Q$. Докажите, что существует единственная последовательность многочленов $H_1(x)$, $H_2(x)$,~\ldots, $H_n(x)$ с вещественными коэффициентами такая, что $0<\deg H_1<\deg H_2<\ldots<\deg H_n$ и
$$
\frac{P}{Q}=\frac{1}{H_1}+\frac{1}{H_1H_2}+\ldots+\frac{1}{H_1H_2\ldots H_n}.
$$
%170
%А 8
\source N. Epstein

\q7.seven В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$~--- центр описанной окружности и точка пересечения высот соответственно. Касательные в точках $B$ и $C$ к описанной окружности треугольника $ABC$ пересекают прямые $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BO$ и $CH$ пересекаются в точке $P$, а прямые $CO$ и $BH$ пересекаются в точке $Q$. Оказалось, что $EF \perp BC$. Докажите, что $OP = OQ$.
% Г 8
\source К. Бельский

\q8.eight Барон Мюнхгаузен утверждает, что покрасил множество натуральных чисел в 9 цветов так, что не существует одноцветных чисел $x$, $y$, $z$, не все из которых равны, удовлетворяющих равенству~${x^2+y^2+z^2=3xyz}$. 
Могут ли его слова быть правдой?
% ТЧ 3
\source Tianyi Tao, Bohan Yang

\q9. В музее есть 82 монеты, Все они весят одинаково, за исключением одной фальшивой --- она легче остальных. В городе живут три сертифицированных эксперта. Каждому из них утром можно принести две группы из равного количества монет, чтобы он их взвесил. Вечером эксперт сообщает своё заключение: либо указывает, какая группа монет легче, либо говорит, что они весят одинаково. Проблема в том, что два эксперта честные, а третий --- лжец (он взвешивает то, что ему дали, но сообщает любой из двух неверных результатов). Как найти фальшивую монету за 3 дня?
% 160
% есть даунгрейды!
% К 2-3
\source А. Солынин, К. Кноп, М. Левиашвили

\q10.ten Дано положительное число $r<1$. Найдите наибольшее число $C$ такое, что неравенство
$$
 C\sum_{n=0}^N \frac{w_n^2}{r^n}\leqslant\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w_{n+1}-w_n)^2}{r^n}
$$
верно для любого натурального $N>1$ и любых вещественных чисел $w_0,w_1,\dots,w_{N-1},w_N=0$ с нулевой суммой.
% 134
% А 6? 
\source MathOverFlow


}


\newpage 


\paper{Первая}{}{

\concap{У уборщицы очень странная швабра. Она представляет собой квадрат со стороной 1, закреплённый к рукоятке одной стороной. Уборщица стоит в точке $X=(0,2)$, а швабра~--- квадрат с вершинами $A=(0,0), B=(0,1), C=(1,1), D=(1,0)$, рукоятка закреплена за сторону $AD$. Уборщица повернулась на $60^\circ$ (см. рисунок). \\
\centerline{\includegraphics[]{pic/concap-2-blackboard.jpg}}
Какую площадь пола она замочила? Другими словами, какую площадь заметёт квадрат $ABCD$ при повороте на $60^\circ$ вокруг точки $X$?}{$2\pi/3+1$.}

\medskip 

\q1. \one
% К 4-

\q2. Пусть $P$ --- фиксированный выпуклый многогранник. Докажите, что существует константа $c>0$ со следующим свойством: если поверхность $P$ целиком покрыта $n$ шарами суммарного объёма~$V$, то~\(n \geqslant c/{V^{2}}\). Константа $c$ может зависеть от $P$. 
\source Putnam, 2012

\q3. Назовем два натуральных числа {\it 2999-похожими}, если из них можно вычёркиваем цифр получить одно и то же натуральное число, делящееся на 2999. Верно ли, что для любого натурального $k$ существуют $k$ различных натуральных чисел, делящихся на 2999, любые два из которых не являются 2999-похожими? (Вычёркивать нужно хотя бы одну, но не все цифры.)
\source И. Ефремов
% из 2ой лиги
% ТЧ 8

\q4. \four
% К 5-6


\q5. \five
% гео 2


\q6. \six
% А 6-7


\q7. \seven
% Г8

\q8. \eight
% ТЧ 2

\q9. В музее есть 60 монет, Все они весят одинаково, за исключением одной фальшивой --- она легче остальных. В городе живут три сертифицированных эксперта. Каждому из них утром можно принести две группы из равного количества монет, чтобы он их взвесил. Вечером эксперт сообщает своё заключение: либо указывает, какая группа монет легче, либо говорит, что они весят одинаково. Проблема в том, что два эксперта честные, а третий --- лжец (он взвешивает то, что ему дали, но сообщает любой из двух неверных результатов). Как найти фальшивую монету за 3 дня?
\source А. Солынин, К. Кноп
% 160
% есть даунгрейды!
% К 3

\q10. Положительные $a$, $b$, $c$ удовлетворяют условию $a+b+c\geqslant ab+bc+ac$. Докажите неравенство
\[ \frac{a^2+b}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2+c}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2+a}{c^2+ca+a^2} \geqslant 2. \]
\source Aleph \slash Ерасыл Алтынбек, Ильяс Ашкен (Казахстанские школьники)
% А 4-5?


}
